ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 414 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) (7x-1)(x-5)-(12x-4)(x+1) > 0; б) 5x(x+2)+(1+2x)(2-2x) < 0;

в) (5x-1)(x+1)-2x(2x+3) < 0; г) (3-2x)(x-1)+(3x-1)(x+4) < 0.

Найти наименьшее решение:

a)
\[
(7x — 1)(x — 5) — (12x — 4)(x + 1) > 0;
\]

\[
7x^2 — 35x — x + 5 — 12x^2 — 12x + 4x + 4 > 0;
\]

\[
5x^2 + 44x — 9 < 0;
\]

\[
D = 44^2 + 4 \cdot 5 \cdot 9 = 1936 + 180 = 2116, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-44 — 46}{2 \cdot 5} = -9, \quad x_2 = \frac{-44 + 46}{2 \cdot 5} = 0,2;
\]

\[
(x + 9)(x — 0,2) < 0;
\]

\[
-9 < x < 0,2;
\]

Ответ: \(-8.\)

б)
\[
5x(x + 2) + (1 + 2x)(2 — 2x) < 0;
\]

\[
5x^2 + 10x + 2 — 2x + 4x — 4x^2 < 0;
\]

\[
x^2 + 12x + 2 < 0;
\]

\[
D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 144 — 8 = 136, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -6 \pm \sqrt{34};
\]

\[
-6 — \sqrt{34} < x < -6 + \sqrt{34};
\]

Ответ: \(-11.\)

в)
\[
(5x — 1)(x + 1) — 2x(2x + 3) < 0;
\]

\[
5x^2 + 5x — x — 1 — 4x^2 — 6x < 0;
\]

\[
x^2 — 2x — 1 < 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2};
\]

\[
1 — \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2};
\]

Ответ: \(0.\)

г)
\[
(3 — 2x)(x — 1) + (3x — 1)(x + 4) < 0;
\]

\[
3x — 3 — 2x^2 + 2x + 3x^2 + 12x — x — 4 < 0;
\]

\[
x^2 + 16x — 7 < 0;
\]

\[
D = 16^2 + 4 \cdot 7 = 256 + 28 = 284, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-16 \pm \sqrt{284}}{2} = \frac{-16 \pm 2\sqrt{71}}{2} = -8 \pm \sqrt{71};
\]

\[
-8 — \sqrt{71} < x < -8 + \sqrt{71};
\]

Ответ: \(-16.\)

Заданы неравенства:

а) \( (7x — 1)(x — 5) — (12x — 4)(x + 1) > 0 \)

Шаг 1: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( 7x^2 — 35x — x + 5 — 12x^2 — 12x + 4x + 4 > 0 \)

\( 5x^2 + 44x — 9 < 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Дискриминант: \( D = 44^2 + 4 \cdot 5 \cdot 9 = 1936 + 180 = 2116 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-44 — 46}{2 \cdot 5} = -9, \quad x_2 = \frac{-44 + 46}{2 \cdot 5} = 0.2 \)

Шаг 4: Решаем неравенство:

\( (x + 9)(x — 0.2) < 0 \)

\( -9 < x < 0.2 \)

Ответ: \( x = -8 \)

б) \( 5x(x + 2) + (1 + 2x)(2 — 2x) < 0 \)

Шаг 1: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( 5x^2 + 10x + 2 — 2x + 4x — 4x^2 < 0 \)

\( x^2 + 12x + 2 < 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Дискриминант: \( D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 144 — 8 = 136 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

\( x = \frac{-12 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -6 \pm \sqrt{34} \)

Шаг 4: Решаем неравенство:

\( -6 — \sqrt{34} < x < -6 + \sqrt{34} \)

Ответ: \( x = -11 \)

в) \( (5x — 1)(x + 1) — 2x(2x + 3) < 0 \)

Шаг 1: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( 5x^2 + 5x — x — 1 — 4x^2 — 6x < 0 \)

\( x^2 — 2x — 1 < 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \)

Шаг 4: Решаем неравенство:

\( 1 — \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} \)

Ответ: \( x = 0 \)

г) \( (3 — 2x)(x — 1) + (3x — 1)(x + 4) < 0 \)

Шаг 1: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( 3x — 3 — 2x^2 + 2x + 3x^2 + 12x — x — 4 < 0 \)

\( x^2 + 16x — 7 < 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Дискриминант: \( D = 16^2 + 4 \cdot 7 = 256 + 28 = 284 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

\( x = \frac{-16 \pm \sqrt{284}}{2} = \frac{-16 \pm 2\sqrt{71}}{2} = -8 \pm \sqrt{71} \)

Шаг 4: Решаем неравенство:

\( -8 — \sqrt{71} < x < -8 + \sqrt{71} \)

Ответ: \( x = -16 \)