ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 413 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение 1/(x^2+2x-4)+1/(x^2+2x+4)=1/(x^2+2x-5).

Решить уравнение:

\[
\frac{1}{x^2 + 2x — 4} + \frac{1}{x^2 + 2x + 4} = \frac{1}{x^2 + 2x — 5};
\]

1) Пусть \(y = x^2 + 2x\), тогда:
\[
\frac{1}{y — 4} + \frac{1}{y + 4} = \frac{1}{y — 5};
\]

\[
\frac{(y + 4)(y — 5) + (y — 4)(y — 5)}{(y — 4)(y + 4)(y — 5)} = \frac{1}{y — 5};
\]

\[
(y + 4)(y — 5) + (y — 4)(y — 5) = y^2 — 16;
\]

\[
y^2 — y — 20 + y^2 — 9y + 20 = y^2 — 16;
\]

\[
y^2 — 10y + 16 = 0;
\]

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8;
\]

2) Первое значение:
\(x^2 + 2x = 2;\)
\[
x^2 + 2x — 2 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 + 8 = 12, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3};
\]

3) Второе значение:
\(x^2 + 2x = 8;\)
\[
x^2 + 2x — 8 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\]

Ответ: \(-4; 2; -1 + \sqrt{3}; -1 — \sqrt{3}.\)

Задано уравнение:

\( \frac{1}{x^2 + 2x — 4} + \frac{1}{x^2 + 2x + 4} = \frac{1}{x^2 + 2x — 5} \)

Шаг 1: Подстановка \( y = x^2 + 2x \)

Подставляем \( y = x^2 + 2x \), упростив выражение:

\( \frac{1}{y — 4} + \frac{1}{y + 4} = \frac{1}{y — 5} \)

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Приводим левую часть уравнения к общему знаменателю:

\( \frac{2y}{(y — 4)(y + 4)} = \frac{1}{y — 5} \)

Шаг 3: Умножаем обе части на общий знаменатель

После умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель, получаем:

\( 2y(y — 5) = (y — 4)(y + 4) \)

Шаг 4: Раскрываем скобки

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\( 2y^2 — 10y = y^2 — 16 \)

Шаг 5: Переносим все на одну сторону

Переносим все на одну сторону:

\( 2y^2 — 10y — y^2 + 16 = 0 \)

Упрощаем:

\( y^2 — 10y + 16 = 0 \)

Шаг 6: Находим дискриминант

Дискриминант: \( D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36 \)

Шаг 7: Находим корни уравнения

Корни уравнения для \( y \):

\( y_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2 \), \( y_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8 \)

Шаг 8: Решаем для каждого значения \( y \)

Для \( y = 2 \):

Уравнение:

\( x^2 + 2x = 2 \)

Приводим к квадратному уравнению:

\( x^2 + 2x — 2 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 + 8 = 12 \)

Корни уравнения:

\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} \)

Для \( y = 8 \):

Уравнение:

\( x^2 + 2x = 8 \)

Приводим к квадратному уравнению:

\( x^2 + 2x — 8 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

Ответ:

• \( x = -4 \)
• \( x = 2 \)
• \( x = -1 + \sqrt{3} \)
• \( x = -1 — \sqrt{3} \)