ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 412 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) 6/(4x^3+x+1)=3/(2x+1)-2x/(2x^2-x+1);

б) 1/(2x-2)+1/(8x^3-4x^2+2x-6)=6x/(3+2x+4x^2);

в) 40/(2x^3+11x^2-3)-3/(2x-1)=(8x+2)/(x^2+6x+3);

г) (x^2+2)/(x^2-1)+7/(x^2+3)=63/(x^4+2x^2-3).

Решить уравнение:

a
\[
\frac{6}{4x^3 + x + 1} = \frac{3}{2x + 1} — \frac{2x}{2x^2 — x + 1};
\]

\[
\frac{6}{(2x + 1)(2x^2 — x + 1)} = \frac{3}{2x + 1} — \frac{2x}{2x^2 — x + 1};
\]

\[
3(2x^2 — x + 1) — 2x(2x + 1) = 6;
\]

\[
6x^2 — 3x + 3 — 4x^2 — 2x = 6;
\]

\[
2x^2 — 5x — 3 = 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = -0,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = 3;
\]

Область определения:

\(2x + 1 \neq 0, \, x \neq -0,5;\)

Ответ: \(3.\)

б)
\[
\frac{1}{2x — 2} + \frac{1}{8x^3 — 4x^2 + 2x — 6} = \frac{6x}{3 + 2x + 4x^2};
\]

\[
\frac{1}{2x — 2} + \frac{1}{(2x — 2)(3 + 2x + 4x^2)} = \frac{6x}{3 + 2x + 4x^2};
\]

\[
3 + 2x + 4x^2 + 1 = 6x(2x — 2);
\]

\[
4 + 2x + 4x^2 = 12x^2 — 12x;
\]

\[
8x^2 — 14x — 4 = 0;
\]

\[
4x^2 — 7x — 2 = 0;
\]

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 + 32 = 81, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 4} = -0,25 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = 2;
\]

Область определения:

\(2x — 2 \neq 0, \, x \neq 1;\)

Ответ: \(-0,25; \, 2.\)

в)
\[
\frac{40}{2x^3 + 11x^2 — 3} — \frac{3}{2x — 1} = \frac{8x + 2}{x^2 + 6x + 3};
\]

\[
\frac{40}{(2x — 1)(x^2 + 6x + 3)} — \frac{3}{2x — 1} = \frac{8x + 2}{x^2 + 6x + 3};
\]

\[
40 — 3(x^2 + 6x + 3) = (2x — 1)(8x + 2);
\]

\[
40 — 3x^2 — 18x — 9 = 16x^2 + 4x — 8x — 2;
\]

\[
19x^2 + 14x — 33 = 0;
\]

\[
D = 14^2 + 4 \cdot 19 \cdot 33 = 196 + 2508 = 2704, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-14 — 52}{2 \cdot 19} = -1 \frac{14}{19} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-14 + 52}{2 \cdot 19} = 1;
\]

Область определения:

\(2x — 1 \neq 0, \, x \neq 0,5;\)

Ответ: \(-1 \frac{14}{19}; \, 1.\)

г)
\[
\frac{x^2 + 2}{x^2 — 1} + \frac{7}{x^2 + 3} = \frac{63}{x^4 + 2x^2 — 3};
\]

\[
\frac{x^2 + 2}{x^2 — 1} + \frac{7}{x^2 + 3} = \frac{63}{(x^2 — 1)(x^2 + 3)};
\]

\[
(x^2 + 2)(x^2 + 3) + 7(x^2 — 1) = 63;
\]

\[
x^4 + 3x^2 + 2x^2 + 6 + 7x^2 — 7 = 63;
\]

\[
x^4 + 12x^2 — 64 = 0;
\]

\[
D = 12^2 + 4 \cdot 64 = 144 + 256 = 400, \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{-12 — 20}{2} = -16 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{-12 + 20}{2} = 4;
\]

Область определения:

\(x^2 — 1 \neq 0, \, x \neq \pm 1;\)

Ответ: \(-2; \, 2.\)

Заданы уравнения:

а) \( \frac{6}{4x^3 + x + 1} = \frac{3}{2x + 1} — \frac{2x}{2x^2 — x + 1} \)

Шаг 1: Приводим уравнение к общему знаменателю:

Рассматриваем общий знаменатель для всех дробей, приводим выражение:

\( \frac{6}{(2x + 1)(2x^2 — x + 1)} = \frac{3}{2x + 1} — \frac{2x}{(2x^2 — x + 1)(x — 1)} \)

Шаг 2: Умножаем обе части на общий знаменатель:

После умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель, получаем:

\( 3(2x^2 — x + 1) — 2x(2x + 1) = 6 \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\( 6x^2 — 3x + 3 — 4x^2 — 2x = 6 \)

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

Упрощаем уравнение, приводя подобные члены:

\( 2x^2 — 5x — 3 = 0 \)

Шаг 5: Находим корни:

Дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 7}{4} = -0.5 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = 3 \)

Область определения:

\( 2x + 1 \neq 0, \, x \neq -0.5 \)

Ответ:

• \( x = 3 \)

б) \( \frac{1}{2x — 2} + \frac{1}{8x^3 — 4x^2 + 2x — 6} = \frac{6x}{3 + 2x + 4x^2} \)

Шаг 1: Приводим уравнение к общему знаменателю:

Приводим выражения к общему знаменателю:

\( \frac{1}{2x — 2} + \frac{1}{(2x — 2)(3 + 2x + 4x^2)} = \frac{6x}{(x^2 + 3)(x + 1)} \)

Шаг 2: Умножаем обе части на общий знаменатель:

После умножения обеих частей на общий знаменатель, получаем:

\( 3 + 2x + 4x^2 + 1 = 6x(2x — 2) \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\( 4 + 2x + 4x^2 = 12x^2 — 12x \)

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

Упрощаем уравнение, приводя подобные члены:

\( 8x^2 — 14x — 4 = 0 \)

Шаг 5: Находим корни:

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 4} = -0.25 \), \( x_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = 2 \)

Область определения:

\( 2x — 2 \neq 0, \, x \neq 1 \)

Ответ:

• \( x = -0.25, \, x = 2 \)

в) \( \frac{40}{2x^3 + 11x^2 — 3} — \frac{3}{2x — 1} = \frac{8x + 2}{x^2 + 6x + 3} \)

Шаг 1: Приводим уравнение к общему знаменателю:

Приводим выражения к общему знаменателю:

\( \frac{40}{(2x — 1)(x^2 + 6x + 3)} — \frac{3}{2x — 1} = \frac{8x + 2}{x^2 + 6x + 3} \)

Шаг 2: Умножаем обе части на общий знаменатель:

После умножения обеих частей на общий знаменатель, получаем:

\( 40 — 3(x^2 + 6x + 3) = (2x — 1)(8x + 2) \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\( 40 — 3x^2 — 18x — 9 = 16x^2 + 4x — 8x — 2 \)

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

Упрощаем уравнение, приводя подобные члены:

\( 19x^2 + 14x — 33 = 0 \)

Шаг 5: Находим корни:

Дискриминант: \( D = 14^2 — 4 \cdot 19 \cdot (-33) = 196 + 2508 = 2704 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-14 — 52}{2 \cdot 19} = -1 \frac{14}{19} \), \( x_2 = \frac{-14 + 52}{2 \cdot 19} = 1 \)

Область определения:

\( 2x — 1 \neq 0, \, x \neq 0.5 \)

Ответ:

• \( x = -1 \frac{14}{19}, \, x = 1 \)

г) \( \frac{x^2 + 2}{x^2 — 1} + \frac{7}{x^2 + 3} = \frac{63}{x^4 + 2x^2 — 3} \)

Шаг 1: Приводим уравнение к общему знаменателю:

Приводим выражения к общему знаменателю:

\( \frac{x^2 + 2}{x^2 — 1} + \frac{7}{x^2 + 3} = \frac{63}{(x^2 — 1)(x^2 + 3)} \)

Шаг 2: Умножаем обе части на общий знаменатель:

После умножения обеих частей на общий знаменатель, получаем:

\( (x^2 + 2)(x^2 + 3) + 7(x^2 — 1) = 63 \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\( x^4 + 3x^2 + 2x^2 + 6 + 7x^2 — 7 = 63 \)

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

Упрощаем полученное уравнение:

\( x^4 + 12x^2 — 64 = 0 \)

Шаг 5: Находим корни:

Дискриминант: \( D = 12^2 + 4 \cdot 64 = 144 + 256 = 400 \)

Корни уравнения:

\( x_1^2 = \frac{-12 — 20}{2} = -16 \), \( x_2^2 = \frac{-12 + 20}{2} = 4 \)

Корни:

\( x_1 \in \varnothing \), \( x_2 = \pm 2 \)

Область определения:

\( x^2 — 1 \neq 0, \, x \neq \pm 1 \)

Ответ:

• \( x = -2, \, x = 2 \)