ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 411 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) 3/(x^2+2)-(x+2)/(x^4-4)=(3x-5)/(x^3+x^2+2x-2);

б) 8/(x^2+3)-(x+7)/(x^4-9)=(8x-20)/(x^3+x^2-3x-3).

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{3}{x^2+2} — \frac{x+2}{x^4-4} = \frac{3x-5}{x^3-x^2+2x-2};
\]

\[
\frac{3}{x^2+2} — \frac{x+2}{(x^2+2)(x^2-2)} = \frac{3x-5}{(x^2+2)(x-1)};
\]

\[
3(x^2-2)(x-1) — (x+2)(x-1) = (3x-5)(x^2-2);
\]

\[
3x^3 — 3x^2 — 6x + 6 — x^2 — x + 2 = 3x^3 — 6x — 5x^2 + 10;
\]

\[
x^2 — x — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\]

Ответ: \(-1; 2.\)

б)
\[
\frac{8}{x^2+3} — \frac{x+7}{x^4-9} = \frac{8x-20}{x^3+x^2-3x-3};
\]

\[
\frac{8}{x^2+3} — \frac{x+7}{(x^2+3)(x^2-3)} = \frac{8x-20}{(x^2-3)(x+1)};
\]

\[
8(x^2-3)(x+1) — (x+7)(x+1) = (8x-20)(x^2+3);
\]

\[
8x^3 + 8x^2 — 24x — 31 — x^2 — 8x = 8x^3 + 24x — 20x^2 — 60;
\]

\[
27x^2 — 56x + 29 = 0;
\]

\[
D = 56^2 — 4 \cdot 27 \cdot 29 = 3136 — 3132 = 4, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{56 — 2}{2 \cdot 27} = \frac{54}{54} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{56 + 2}{2 \cdot 27} = \frac{58}{54} = \frac{29}{27};
\]

Ответ: \(1; 1 \frac{2}{27}.\)

Заданы уравнения:

а) \( \frac{3}{x^2 + 2} — \frac{x + 2}{x^4 — 4} = \frac{3x — 5}{x^3 — x^2 + 2x — 2} \)

Шаг 1: Приводим уравнение к общему знаменателю:

Рассматриваем общий знаменатель для всех дробей, приводим выражение:

\( \frac{3}{x^2 + 2} — \frac{x + 2}{(x^2 + 2)(x^2 — 2)} = \frac{3x — 5}{(x^2 + 2)(x — 1)} \)

Шаг 2: Умножаем обе части на общий знаменатель:

После умножения обеих частей уравнения на \( (x^2 + 2)(x^2 — 2)(x — 1) \), получаем:

\( 3(x^2 — 2)(x — 1) — (x + 2)(x — 1) = (3x — 5)(x^2 — 2) \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем все скобки и приводим подобные члены:

\( 3x^3 — 3x^2 — 6x + 6 — x^2 — x + 2 = 3x^3 — 6x — 5x^2 + 10 \)

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

Теперь упрощаем уравнение, приводя подобные члены:

\( x^2 — x — 2 = 0 \)

Шаг 5: Находим корни уравнения:

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

Ответ:

• \( x = -1; 2 \)

б) \( \frac{8}{x^2 + 3} — \frac{x + 7}{x^4 — 9} = \frac{8x — 20}{x^3 + x^2 — 3x — 3} \)

Шаг 1: Приводим уравнение к общему знаменателю:

Рассматриваем общий знаменатель для всех дробей, приводим выражение:

\( \frac{8}{x^2 + 3} — \frac{x + 7}{(x^2 + 3)(x^2 — 3)} = \frac{8x — 20}{(x^2 — 3)(x + 1)} \)

Шаг 2: Умножаем обе части на общий знаменатель:

После умножения обеих частей уравнения на \( (x^2 + 3)(x^2 — 3)(x + 1) \), получаем:

\( 8(x^2 — 3)(x + 1) — (x + 7)(x + 1) = (8x — 20)(x^2 + 3) \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем все скобки и приводим подобные члены:

\( 8x^3 + 8x^2 — 24x — 31 — x^2 — 8x = 8x^3 + 24x — 20x^2 — 60 \)

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

Упрощаем полученное уравнение:

\( 27x^2 — 56x + 29 = 0 \)

Шаг 5: Находим корни уравнения:

Дискриминант: \( D = 56^2 — 4 \cdot 27 \cdot 29 = 3136 — 3132 = 4 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{56 — 2}{2 \cdot 27} = \frac{54}{54} = 1 \), \( x_2 = \frac{56 + 2}{2 \cdot 27} = \frac{58}{54} = \frac{29}{27} \)

Ответ:

• \( x = 1; \, x = 1 \frac{2}{27} \)