ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 410 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение (x-1)/(x^2+6x)+(x-2)/(x^2-6x)=(2x-2)/(x^2-36) не имеет корней.

Уравнение не имеет корней:

\[
\frac{x — 1}{x^2 + 6x} + \frac{x — 2}{x^2 — 6x} = \frac{2x — 2}{x^2 — 36};
\]

\[
(x — 6)(x — 1) + (x + 6)(x — 2) = x(2x — 2);
\]

\[
x^2 — 7x + 6 + x^2 + 4x — 12 = 2x^2 — 2x;
\]

\[
2x^2 — 3x — 6 = 2x^2 — 2x, \quad x = -6;
\]

Область определения:

\[
x(x + 6)(x — 6) \neq 0;
\]

\[
x_1 \neq -6, \quad x_2 \neq 0, \quad x_3 \neq 6;
\]

Что и требовалось доказать.

Задано уравнение:

\( \frac{x — 1}{x^2 + 6x} + \frac{x — 2}{x^2 — 6x} = \frac{2x — 2}{x^2 — 36} \)

Шаг 1: Упрощаем уравнение:

Нам нужно привести обе части уравнения к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 + 6x = (x + 6)(x) \), \( x^2 — 6x = (x — 6)(x) \), и \( x^2 — 36 = (x — 6)(x + 6) \).

Подставляем эти выражения в уравнение:

\( \frac{x — 1}{x(x + 6)} + \frac{x — 2}{x(x — 6)} = \frac{2x — 2}{(x — 6)(x + 6)} \)

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:

Теперь приводим к общему знаменателю:

\( \frac{(x — 1)(x — 6) + (x — 2)(x + 6)}{x(x + 6)(x — 6)} = \frac{2x — 2}{(x — 6)(x + 6)} \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем скобки и упрощаем выражение в числителе:

\( (x — 1)(x — 6) = x^2 — 7x + 6 \)

\( (x — 2)(x + 6) = x^2 + 4x — 12 \)

Теперь у нас получается:

\( \frac{x^2 — 7x + 6 + x^2 + 4x — 12}{x(x + 6)(x — 6)} = \frac{2x — 2}{(x — 6)(x + 6)} \)

Упрощаем числитель:

\( x^2 — 7x + 6 + x^2 + 4x — 12 = 2x^2 — 3x — 6 \)

Шаг 4: Получаем окончательное уравнение:

Теперь уравнение принимает вид:

\( \frac{2x^2 — 3x — 6}{x(x + 6)(x — 6)} = \frac{2x — 2}{(x — 6)(x + 6)} \)

Шаг 5: Умножаем обе части уравнения на \( x(x + 6)(x — 6) \):

После умножения обеих сторон на \( x(x + 6)(x — 6) \) получаем:

\( 2x^2 — 3x — 6 = 2x — 2 \)

Шаг 6: Решаем уравнение:

Переносим все на одну сторону:

\( 2x^2 — 3x — 6 — 2x + 2 = 0 \)

\( 2x^2 — 5x — 4 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 25 + 32 = 57 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — \sqrt{57}}{4} \), \( x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + \sqrt{57}}{4} \)

Шаг 7: Область определения:

Так как в исходном уравнении присутствуют знаменатели \( x(x + 6)(x — 6) \), область определения будет ограничена значениями, при которых эти знаменатели не равны нулю:

\( x \neq 0, x \neq -6, x \neq 6 \)

Ответ:

• Корни уравнения: \( x_1 = \frac{5 — \sqrt{57}}{4} \), \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{57}}{4} \)
• Область определения: \( x \neq 0, x \neq -6, x \neq 6 \)