ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 409 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^4(x+1)^4-40x^2(x+1)^2+144=0;

б) (x+3)^4/x^4-54(x+3)^2/x^2+900=0.

а)

\[
x^4(x + 1)^4 — 40x^2(x + 1)^2 + 144 = 0;
\]
Пусть \( y = x^2(x + 1)^2 \), тогда:

\[
y^2 — 40y + 144 = 0;
\]

\[
D = 40^2 — 4 \cdot 144 = 1600 — 576 = 1024, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{40 — 32}{2} = 4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{40 + 32}{2} = 36;
\]

Первое значение:

\[
x^2(x + 1)^2 = 4;
\]

\[
(x^2 + x + 2)(x^2 + x — 2) = 0;
\]

\[
x^2 + x — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\]

Второе значение:

\[
x^2(x + 1)^2 = 36;
\]

\[
(x^2 + x + 6)(x^2 + x — 6) = 0;
\]

\[
x^2 + x — 6 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\]

Ответ: \(-3; -2; 1; 2\).

б)

\[
\frac{(x + 3)^4}{x^4} — \frac{54(x + 3)^2}{x^2} + 900 = 0;
\]

Пусть \( y = \frac{(x + 3)^2}{x^2} \), тогда:

\[
y^2 — 54y + 900 = 0;
\]

\[
D = 54^2 — 4 \cdot 900 = -684;
\]

Ответ: корней нет.

Заданы уравнения:

а) \( x^4(x + 1)^4 — 40x^2(x + 1)^2 + 144 = 0 \)

Шаг 1: Подставим \( y = x^2(x + 1)^2 \):

После подстановки уравнение принимает вид:

\( y^2 — 40y + 144 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

\( D = 40^2 — 4 \cdot 144 = 1600 — 576 = 1024 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{40 — 32}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{40 + 32}{2} = 36 \)

Шаг 3: Решаем для каждого значения \( y \):

Для \( y = 4 \):

Уравнение становится:

\( x^2(x + 1)^2 = 4 \)

Разкроем скобки:

\( (x^2 + x + 2)(x^2 + x — 2) = 0 \)

Решаем два уравнения:

\( x^2 + x — 2 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Корни: \( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

Для \( y = 36 \):

Уравнение становится:

\( x^2(x + 1)^2 = 36 \)

Разкроем скобки:

\( (x^2 + x + 6)(x^2 + x — 6) = 0 \)

Решаем два уравнения:

\( x^2 + x — 6 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)

Корни: \( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)

Ответ:

• \( x = -3; -2; 1; 2 \)

б) \( \frac{(x + 3)^4}{x^4} — \frac{54(x + 3)^2}{x^2} + 900 = 0 \)

Шаг 1: Подставим \( y = \frac{(x + 3)^2}{x^2} \):

После подстановки уравнение принимает вид:

\( y^2 — 54y + 900 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

\( D = 54^2 — 4 \cdot 900 = 2916 — 3600 = -684 \)

Поскольку дискриминант отрицателен, корней нет.

Ответ:

• Корней нет.