ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 408 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) (x^2+6x)^2-4(x^2+6x+1)-17=0;

б) (x^2+x)^2-5(x^2+x-4)+6=0;

в) x(x-2)(x-3)(x-5)=72;

г) (x-3)(x+2)(x-6)(x-1)=-56.

Решить уравнение:

а)

\[
(x^2 + 6x)^2 — 4(x^2 + 6x + 1) — 17 = 0;
\]
Пусть \( y = x^2 + 6x \), тогда:

\[
y^2 — 4(y + 1) — 17 = 0;
\]

\[
y^2 — 4y — 4 — 17 = 0;
\]

\[
y^2 — 4y — 21 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7;
\]

Первое значение:

\[
x^2 + 6x = -3;
\]

\[
x^2 + 6x + 3 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 3 = 36 — 12 = 24, \text{ тогда:}
\]

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6};
\]

Второе значение:

\[
x^2 + 6x = 7;
\]

\[
x^2 + 6x — 7 = 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1;
\]

Ответ: \(-7; 1; -3 \pm \sqrt{6}\).

б)

\[
(x^2 + x)^2 — 5(x^2 + x — 4) + 6 = 0;
\]

Пусть \( y = x^2 + x \), тогда:

\[
y^2 — 5(y — 4) + 6 = 0;
\]

\[
y^2 — 5y + 20 + 6 = 0;
\]

\[
y^2 — 5y + 26 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 26 = -79;
\]

Ответ: корней нет.

в)
\[
x(x — 2)(x — 3)(x — 5) = 72;
\]

\[
(x^2 — 5x)(x^2 — 5x + 6) = 72;
\]

Пусть \( y = x^2 — 5x \), тогда:

\[
y(y + 6) = 72;
\]

\[
y^2 + 6y — 72 = 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 72 = 36 + 288 = 324, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-6 — 18}{2} = -12 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-6 + 18}{2} = 6;
\]

Первое значение:

\[
x^2 — 5x = -12;
\]

\[
x^2 — 5x + 12 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 12 = -23;
\]

Второе значение:

\[
x^2 — 5x = 6;
\]

\[
x^2 — 5x — 6 = 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;
\]

Ответ: \(-1; 6\).

г)
\[
(x — 3)(x + 2)(x — 6)(x — 1) = -56;
\]

\[
(x^2 — 4x + 3)(x^2 — 4x — 12) = -56;
\]

Пусть \( y = x^2 — 4x + 3 \), тогда:

\[
y(y — 15) = -56;
\]

\[
y^2 — 15y + 56 = 0;
\]

\[
D = 15^2 — 4 \cdot 56 = 225 — 224 = 1, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8;
\]

Первое значение:

\[
x^2 — 4x + 3 = 7;
\]

\[
x^2 — 4x — 4 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32, \text{ тогда:}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2};
\]

Второе значение:

\[
x^2 — 4x + 3 = 8;
\]

\[
x^2 — 4x — 5 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\]

Ответ: \(-1; 5; 2 \pm 2\sqrt{2}\).

Заданы уравнения:

а) \( (x^2 + 6x)^2 — 4(x^2 + 6x + 1) — 17 = 0 \)

Шаг 1: Подставим \( y = x^2 + 6x \), чтобы упростить выражение:

\( y^2 — 4(y + 1) — 17 = 0 \)

Шаг 2: Упростим уравнение:

\( y^2 — 4y — 4 — 17 = 0 \)

\( y^2 — 4y — 21 = 0 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Для уравнения \( y^2 — 4y — 21 = 0 \) находим дискриминант:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \)

Тогда корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{100}}{2} = \frac{4 — 10}{2} = -3 \)

\( y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7 \)

Шаг 4: Находим корни для каждого случая:

Для \( y = -3 \):

\( x^2 + 6x = -3 \)

\( x^2 + 6x + 3 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 3 = 36 — 12 = 24 \)

Тогда корни:

\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = -3 \pm \sqrt{6} \)

Для \( y = 7 \):

\( x^2 + 6x = 7 \)

\( x^2 + 6x — 7 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \)

Тогда корни:

\( x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \), \( x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \)

Ответ:

• \( x = -7 \), \( x = 1 \), \( x = -3 \pm \sqrt{6} \)

б) \( (x^2 + x)^2 — 5(x^2 + x — 4) + 6 = 0 \)

Шаг 1: Подставим \( y = x^2 + x \), чтобы упростить выражение:

\( y^2 — 5(y — 4) + 6 = 0 \)

\( y^2 — 5y + 20 + 6 = 0 \)

\( y^2 — 5y + 26 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 26 = 25 — 104 = -79 \)

Поскольку дискриминант отрицателен, корней нет.

Ответ:

• Корней нет.

в) \( x(x — 2)(x — 3)(x — 5) = 72 \)

Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\( (x^2 — 5x)(x^2 — 5x + 6) = 72 \)

Шаг 2: Подставим \( y = x^2 — 5x \):

\( y(y + 6) = 72 \)

\( y^2 + 6y — 72 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

\( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324 \)

Тогда корни:

\( y_1 = \frac{-6 — 18}{2} = -12 \), \( y_2 = \frac{-6 + 18}{2} = 6 \)

Шаг 4: Находим корни для каждого значения \( y \):

Для \( y = -12 \):

\( x^2 — 5x + 12 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 12 = 25 — 48 = -23 \)

Корней нет.

Для \( y = 6 \):

\( x^2 — 5x — 6 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 \)

Тогда корни:

\( x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \)

Ответ:

• \( x = -1 \), \( x = 6 \)

г) \( (x — 3)(x + 2)(x — 6)(x — 1) = -56 \)

Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\( (x^2 — 4x + 3)(x^2 — 4x — 12) = -56 \)

Шаг 2: Подставим \( y = x^2 — 4x + 3 \):

\( y(y — 15) = -56 \)

\( y^2 — 15y + 56 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

\( D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 — 224 = 1 \)

Тогда корни:

\( y_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7 \), \( y_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8 \)

Шаг 4: Находим корни для каждого значения \( y \):

Для \( y = 7 \):

\( x^2 — 4x + 3 = 7 \)

\( x^2 — 4x — 4 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 4^2 + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32 \)

Тогда корни:

\( x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2} \)

Для \( y = 8 \):

\( x^2 — 4x + 3 = 8 \)

\( x^2 — 4x — 5 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36 \)

Тогда корни:

\( x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \)

Ответ:

• \( x = -1 \), \( x = 5 \), \( x = 2 \pm 2\sqrt{2} \)