ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 407 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Составьте уравнение с целыми коэффициентами, зная, что один из его корней равен v5, а другой равен 3-v2.

Составить уравнение:
\[
(x — \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x — (3 — \sqrt{2}))(x — (3 + \sqrt{2})) = 0;
\]

\[
(x^2 — 5)(x^2 — x(3 + \sqrt{2}) — x(3 — \sqrt{2}) + (9 — 2)) = 0;
\]

\[
(x^2 — 5)(x^3 — 6x + 7) = 0;
\]

\[
x^4 — 6x^3 + 7x^2 — 5x^2 + 30x — 35 = 0;
\]

\[
x^4 — 6x^3 + 2x^2 + 30x — 35 = 0;
\]

Задано уравнение:

\( (x — \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x — (3 — \sqrt{2}))(x — (3 + \sqrt{2})) = 0 \)

Шаг 1: Применяем формулу разности квадратов:

Сначала упростим два множителя с помощью формулы разности квадратов:

\( (x — \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 — (\sqrt{5})^2 = x^2 — 5 \)

Теперь упростим второй множитель:

\( (x — (3 — \sqrt{2}))(x — (3 + \sqrt{2})) = (x — 3 + \sqrt{2})(x — 3 — \sqrt{2}) =\)

\((x — 3)^2 — (\sqrt{2})^2 = (x — 3)^2 — 2 \)

Шаг 2: Упрощаем выражение:

Теперь подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

\( (x^2 — 5)\left((x — 3)^2 — 2\right) = 0 \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

Раскрываем второй множитель \( (x — 3)^2 — 2 \):

\( (x — 3)^2 — 2 = x^2 — 6x + 9 — 2 = x^2 — 6x + 7 \)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\( (x^2 — 5)(x^2 — 6x + 7) = 0 \)

Шаг 4: Перемножаем два множителя:

Теперь перемножаем два множителя:

\( (x^2 — 5)(x^2 — 6x + 7) = x^4 — 6x^3 + 7x^2 — 5x^2 + 30x — 35 \)

Шаг 5: Упрощаем уравнение:

Теперь упрощаем полученное уравнение:

\( x^4 — 6x^3 + 7x^2 — 5x^2 + 30x — 35 = 0 \)

\( x^4 — 6x^3 + 2x^2 + 30x — 35 = 0 \)

Ответ:

Уравнение имеет вид: \( x^4 — 6x^3 + 2x^2 + 30x — 35 = 0 \).