ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 404 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если ни один из делителей числа a_n, не равного нулю, не является корнем уравнения x^n+a_1x^(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n=0 с целыми коэффициентами, то это уравнение не имеет рациональных корней.

Если есть рациональные корни:

\[
x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0;
\]

\[
(x — x_1)(x — x_2) \dots (x — x_n) = 0;
\]

\[
a_n = x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n;
\]

Что и требовалось доказать.

Задано уравнение:

\( x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0 \)

Шаг 1: Разложение уравнения на множители

Если у данного полинома есть рациональные корни, то согласно теореме о разложении на множители, его можно представить в виде произведения линейных множителей. Для полинома второй степени это будет выглядеть так:

\( (x — x_1)(x — x_2) \dots (x — x_n) = 0 \)

Где \( x_1, x_2, \dots, x_n \) — это корни уравнения. То есть, если \( x_1, x_2, \dots, x_n \) — корни полинома, то полином можно разложить на множители как произведение этих линейных множителей. Важно помнить, что каждый корень \( x_i \) полинома является значением \( x \), при котором полином равен нулю.

Шаг 2: Коэффициенты при степенях

Теперь рассмотрим связь между коэффициентами многочлена и его корнями. Согласно теореме Виета для уравнения вида \( x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0 \), можно получить следующее соотношение для произведения корней:

\( x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = (-1)^n \cdot a_n \)

Где \( a_n \) — это коэффициент при старшей степени (степени \( n \)) уравнения. Знак \( (-1)^n \) зависит от того, четная ли степень полинома или нечетная.

Таким образом, если мы разложим полином на множители, произведение его корней будет равно коэффициенту при старшей степени, с учётом знака \( (-1)^n \).

Шаг 3: Доказательство

Теперь, используя теорему Виета, мы доказали, что произведение корней полинома равно \( (-1)^n \cdot a_n \), что означает, что:

\( a_n = x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n \)

Что и требовалось доказать.