ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 400 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметрами а и b:

а) (x^2+2bx)/(a^2+b^2+2ab)-(2x-a+b)/(a+b)=0;

б) (x-a)/(x-b)+(x-b)/(x-a)+2=0.

Решить уравнение:

а)

\[
\frac{x^2 + 2bx}{a^2 + b^2 + 2ab} — \frac{2x — a + b}{a + b} = 0;
\]

\[
(x^2 + 2bx) — (2x — a + b)(a + b) = 0;
\]

\[
x^2 — 2ax + a^2 — b^2 = 0;
\]

\[
D = (2a)^2 — 4(a^2 — b^2);
\]

\[
D = 4a^2 — 4a^2 + 4b^2 = 4b^2,
\]

тогда:

\[
x = \frac{2a \pm 2b}{2} = \frac{2(a + b)}{2} = a + b;
\]

Ответ:

Если \(a \neq -b\), то \(x = a + b\);
Если \(a = -b\), то корней нет.

б)

\[
\frac{x — a}{x — b} + \frac{x — b}{x — a} + 2 = 0;
\]

\[
(x — a)^2 + (x — b)^2 + 2(x — a)(x — b) = 0;
\]

\[
4x^2 — 4ax — 4bx + a^2 + 2ab + b^2 = 0;
\]

\[
4x^2 — 4(a + b)x + (a + b)^2 = 0;
\]

\[
(2x — (a + b))^2 = 0;
\]

\[
2x = a + b, \quad x = \frac{a + b}{2};
\]

Ответ:

Если \(a \neq b\), то \(x = \frac{a + b}{2}\);
Если \(a = b\), то корней нет.

Задано уравнение:

а) \( \frac{x^2 + 2bx}{a^2 + b^2 + 2ab} — \frac{2x — a + b}{a + b} = 0 \)

Шаг 1: Умножаем обе части уравнения на знаменатели:

Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на \( a^2 + b^2 + 2ab \) и \( a + b \) (при условии, что \( a \neq -b \), чтобы избежать деления на ноль):

\( (x^2 + 2bx) — (2x — a + b)(a + b) = 0 \)

Шаг 2: Раскрываем скобки:

\( x^2 + 2bx — (2x — a + b)(a + b) = 0 \)

\( x^2 + 2bx — (2x(a + b) — a(a + b) + b(a + b)) = 0 \)

Упрощаем выражение:

\( x^2 — 2ax + a^2 — b^2 = 0 \)

Шаг 3: Вычисляем дискриминант:

Для квадратного уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 — b^2 = 0 \), находим дискриминант:

\( D = (2a)^2 — 4(a^2 — b^2) \)

\( D = 4a^2 — 4a^2 + 4b^2 = 4b^2 \)

Шаг 4: Находим корни:

Теперь находим корни уравнения:

\( x = \frac{2a \pm 2b}{2} = a + b \)

Ответ:

• Если \( a \neq -b \), то \( x = a + b \);
• Если \( a = -b \), то корней нет, так как дискриминант равен нулю, и решение невозможно.

б) \( \frac{x — a}{x — b} + \frac{x — b}{x — a} + 2 = 0 \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

\( \frac{(x — a)^2 + (x — b)^2 + 2(x — a)(x — b)}{(x — a)(x — b)} = 0 \)

Преобразуем числитель:

\( (x — a)^2 + (x — b)^2 + 2(x — a)(x — b) = 0 \)

Шаг 2: Раскрываем скобки:

\( (x — a)^2 + (x — b)^2 + 2(x — a)(x — b) = 0 \)

Раскрываем квадраты и производим упрощение:

\( 4x^2 — 4ax — 4bx + a^2 + 2ab + b^2 = 0 \)

Шаг 3: Упрощаем выражение:

\( 4x^2 — 4(a + b)x + (a + b)^2 = 0 \)

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение:

Это квадратное уравнение имеет решение:

\( (2x — (a + b))^2 = 0 \)

Шаг 5: Находим корень уравнения:

Из уравнения \( (2x — (a + b))^2 = 0 \) находим корень:

\( 2x = a + b \), отсюда \( x = \frac{a + b}{2} \)

Ответ:

• Если \( a \neq b \), то \( x = \frac{a + b}{2} \);
• Если \( a = b \), то корней нет, так как выражение становится неопределенным.