ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 395 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра b уравнение 2/(1-x)=b-5 имеет единственный корень, который принадлежит промежутку (—1; 1)?

Имеет один корень:

\[
\frac{2}{1 — x} = b — 5;
\]

\[
(b — 5)(1 — x) = 2;
\]

\[
b — bx — 5 + 5x = 2;
\]

\[
(5 — b)x = 7 — b;
\]

\[
x = \frac{7 — b}{5 — b}, \quad x \in (-1; 1);
\]

1) Первое неравенство:

\[
\frac{7 — b}{5 — b} > -1, \quad \frac{b — 7}{b — 5} > -1;
\]

\[
\frac{b — 7 + b — 5}{b — 5} > 0;
\]

\[
\frac{2b — 12}{b — 5} > 0;
\]

\[
b < 5, \quad b > 6;
\]

2) Второе неравенство:

\[
\frac{7 — b}{5 — b} < 1, \quad \frac{b — 7}{b — 5} < 1;
\]

\[
\frac{b — 7 — b + 5}{b — 5} < 0;
\]

\[
\frac{-2}{b — 5} < 0, \quad b > 5;
\]

Ответ:

\[
b \in (6; +\infty).
\]

Задано уравнение:

\( \frac{2}{1 — x} = b — 5 \)

Шаг 1: Умножение на \( (1 — x) \)

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \( 1 — x \), при этом важно помнить, что \( x \neq 1 \), так как деление на 0 невозможно:

\( \frac{2}{1 — x} \cdot (1 — x) = (b — 5) \cdot (1 — x) \)

Получаем: \( 2 = (b — 5)(1 — x) \)

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь раскрываем скобки на правой стороне уравнения:

\( 2 = (b — 5)(1 — x) \)

\( 2 = b — bx — 5 + 5x \)

Шаг 3: Перенос всех элементов на одну сторону

Переносим все элементы на одну сторону, чтобы получить стандартную форму уравнения:

\( 2 = b — bx — 5 + 5x \)

\( 0 = b — bx — 5 + 5x — 2 \)

Упрощаем: \( 0 = b — bx + 5x — 7 \)

\( 0 = x(b — 5) + b — 7 \)

Шаг 4: Решение относительно \( x \)

Теперь решаем уравнение относительно \(x\):

\( x(b — 5) = 7 — b \)

\( x = \frac{7 — b}{b — 5} \), при этом \( x \in (-1; 1) \) по условию задачи.

Первое неравенство:

Теперь рассмотрим первое неравенство: \( \frac{7 — b}{b — 5} > -1 \)

Шаг 1: Умножение на \( (b — 5) \)

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на \( b — 5 \), при этом нужно учитывать, что при \( b > 5 \) знак неравенства не меняется, а при \( b < 5 \) знак меняется:

\( \frac{7 — b}{b — 5} > -1 \Rightarrow \frac{b — 7}{b — 5} > -1 \)

Шаг 2: Убираем дробь

Переносим все члены на одну сторону:

\( \frac{b — 7 + b — 5}{b — 5} > 0 \)

\( \frac{2b — 12}{b — 5} > 0 \)

Шаг 3: Решение неравенства

Для решения неравенства \( \frac{2b — 12}{b — 5} > 0 \), мы можем разделить его на два случая:

• Когда числитель и знаменатель положительные: \( b < 5 \) и \( b > 6 \);
• Когда числитель и знаменатель отрицательные: \( b > 5 \) и \( b < 6 \).

Таким образом, решение для первого неравенства: \( b \in (6; +\infty) \).

Второе неравенство:

Рассмотрим второе неравенство: \( \frac{7 — b}{b — 5} < 1 \)

Шаг 1: Умножение на \( (b — 5) \)

Также умножим обе части на \( b — 5 \), при условии, что \( b > 5 \), чтобы знак неравенства не изменился:

\( \frac{7 — b}{b — 5} < 1 \Rightarrow \frac{b — 7}{b — 5} < 1 \)

Шаг 2: Убираем дробь

Переносим все члены на одну сторону:

\( \frac{b — 7 — b + 5}{b — 5} < 0 \)

\( \frac{-2}{b — 5} < 0 \)

Шаг 3: Решение неравенства

Для неравенства \( \frac{-2}{b — 5} < 0 \) знаменатель \( b — 5 \) должен быть положительным, то есть \( b > 5 \).

Ответ:

Общий ответ: \( b \in (6; +\infty) \)