ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 391 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно x уравнение:

а) x-2a=(1-a^2)/x; в) a/(x-3)-5/(x+3)=18/(x^2-9);

б) x+3+2/x=2a-(a^2-3a)/x; г) 6/(x^2-16)-1/(x-4)=3a/(4+x).

Решить уравнение:

а)
\[
x — 2a = \frac{1 — a^2}{x};
\]

\[
x^2 — 2ax = 1 — a^2;
\]

\[
x^2 — 2ax + a^2 — 1 = 0;
\]

\[
D = (2a)^2 — 4(a^2 — 1);
\]

\[
D = 4a^2 — 4a^2 + 4 = 4, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{2a \pm 2}{2} = \frac{2(a + 1)}{2} = a \pm 1;
\]

Ответ:

Если \(a \neq \pm 1\), то \(x = a \pm 1\);
Если \(a = -1\), то \(x = -2\);
Если \(a = 1\), то \(x = 2\).

б)
\[
x + 3 + \frac{2}{x} = 2a — \frac{a^2 — 3a}{x};
\]

\[
x^2 + 3x + 2 = 2ax — a^2 + 3a;
\]

\[
x^2 + (3 — 2a)x + a^2 — 3a + 2 = 0;
\]

\[
D = (3 — 2a)^2 — 4(a^2 — 3a + 2);
\]

\[
D = 9 — 12a + 4a^2 — 4a^2 + 12a — 8 = 1, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = a — 2, \quad x_2 = a — 1;
\]

Ответ:

Если \(a \neq 2\) и \(a \neq 1\), то \(x = a — 2\) и \(x = a — 1\);
Если \(a = 2\), то \(x = 1\);
Если \(a = 1\), то \(x = -1\).

в)
\[
\frac{a}{x — 3} — \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x^2 — 9};
\]

\[
a(x + 3) — 5(x — 3) = 18;
\]

\[
ax + 3a — 5x + 15 = 18;
\]

\[
x(a — 5) = 3 — 3a, \quad x = \frac{3 — 3a}{a — 5};
\]

Ответ:

Если \(a \neq 5\) и \(a \neq 3\), то \(x = \frac{3 — 3a}{a — 5}\);
Если \(a = 5\) или \(a = 3\), то корней нет.

г)
\[
\frac{6}{x^2 — 16} — \frac{1}{x — 4} = \frac{3a}{4 + x};
\]

\[
6 — (x + 4) = 3a(x — 4);
\]

\[
6 — x — 4 = 3ax — 12a;
\]

\[
(3a + 1)x = 12a + 2, \quad x = \frac{12a + 2}{3a + 1};
\]

Ответ:

Если \(a \neq -\frac{1}{3}\) и \(a \neq -\frac{1}{4}\), то \(x = \frac{12a + 2}{3a + 1}\);
Если \(a = -\frac{1}{3}\) или \(a = -\frac{1}{4}\), то корней нет.

Уравнение а)

Задано уравнение: \( x — 2a = \frac{1 — a^2}{x} \)

1. Умножим обе части на \(x\), чтобы избавиться от дроби:

\( x^2 — 2ax = 1 — a^2 \)

2. Переносим все на одну сторону:

\( x^2 — 2ax + a^2 — 1 = 0 \)

3. Вычисляем дискриминант для этого уравнения:

\( D = (2a)^2 — 4(a^2 — 1) \)

\( D = 4a^2 — 4a^2 + 4 = 4 \), так что дискриминант положительный, и у нас два корня.

4. Находим корни с помощью формулы для квадратного уравнения:

\( x = \frac{2a \pm 2}{2} \), упрощаем:

\( x = a \pm 1 \)

Ответ:

• Если \( a \neq \pm 1 \), то \( x = a \pm 1 \);
• Если \( a = -1 \), то \( x = -2 \);
• Если \( a = 1 \), то \( x = 2 \).

Уравнение б)

Задано уравнение: \( x + 3 + \frac{2}{x} = 2a — \frac{a^2 — 3a}{x} \)

1. Умножим обе части на \( x \), чтобы избавиться от дробей:

\( x^2 + 3x + 2 = 2ax — a^2 + 3a \)

2. Переносим все на одну сторону:

\( x^2 + (3 — 2a)x + a^2 — 3a + 2 = 0 \)

3. Вычисляем дискриминант для этого уравнения:

\( D = (3 — 2a)^2 — 4(a^2 — 3a + 2) \)

\( D = 9 — 12a + 4a^2 — 4a^2 + 12a — 8 = 1 \)

4. Находим корни уравнения:

\( x_1 = a — 2 \), \( x_2 = a — 1 \)

Ответ:

• Если \( a \neq 2 \) и \( a \neq 1 \), то \( x = a — 2 \) и \( x = a — 1 \);
• Если \( a = 2 \), то \( x = 1 \);
• Если \( a = 1 \), то \( x = -1 \).

Уравнение в)

Задано уравнение: \( \frac{a}{x — 3} — \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x^2 — 9} \)

1. Умножим обе части на \( x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3) \), чтобы избавиться от дробей:

\( a(x + 3) — 5(x — 3) = 18 \)

2. Раскроем скобки:

\( ax + 3a — 5x + 15 = 18 \)

3. Переносим все на одну сторону:

\( x(a — 5) = 3 — 3a \), далее:

\( x = \frac{3 — 3a}{a — 5} \)

Ответ:

• Если \( a \neq 5 \) и \( a \neq 3 \), то \( x = \frac{3 — 3a}{a — 5} \);
• Если \( a = 5 \) или \( a = 3 \), то корней нет.

Уравнение г)

Задано уравнение: \( \frac{6}{x^2 — 16} — \frac{1}{x — 4} = \frac{3a}{4 + x} \)

1. Умножим обе части на \( (x — 4)(x + 4) = x^2 — 16 \), чтобы избавиться от дробей:

\( 6 — (x + 4) = 3a(x — 4) \)

2. Раскроем скобки:

\( 6 — x — 4 = 3ax — 12a \)

3. Переносим все на одну сторону:

\( (3a + 1)x = 12a + 2 \), далее:

\( x = \frac{12a + 2}{3a + 1} \)

Ответ:

• Если \( a \neq -\frac{1}{3} \) и \( a \neq -\frac{1}{4} \), то \( x = \frac{12a + 2}{3a + 1} \);
• Если \( a = -\frac{1}{3} \) или \( a = -\frac{1}{4} \), то корней нет.