ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 388 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений двойного неравенства:

а) 1 < (3x-1)/(x+2) < 3; б) -1 < (x-2)/(x+3) < 1.

Решить неравенство:

а)

\[
1 < \frac{3x — 1}{x + 2} < 3;
\]

Первое неравенство:

\[
\frac{3x — 1}{x + 2} > 1;
\]

\[
\frac{3x — 1 — x — 2}{x + 2} > 0;
\]

\[
\frac{2x — 3}{x + 2} > 0;
\]

\[
x < -2, \quad x > 1,5;
\]

Второе неравенство:

\[
\frac{3x — 1}{x + 2} < 3;
\]

\[
\frac{3x — 1 — 3x — 6}{x + 2} > 0;
\]

\[
\frac{-7}{x + 2} > 0, \quad x > -2;
\]

Ответ:

\[
(1,5; +\infty).
\]

б)

\[
-1 < \frac{x — 2}{x + 3} < 1;
\]

Первое неравенство:

\[
\frac{x — 2}{x + 3} > -1;
\]

\[
\frac{x — 2 + x + 3}{x + 3} > 0;
\]

\[
\frac{2x + 1}{x + 3} > 0;
\]

\[
x < -3, \quad x > -0,5;
\]

Второе неравенство:

\[
\frac{x — 2}{x + 3} < 1;
\]

\[
\frac{x — 2 — x — 3}{x + 3} > 0;
\]

\[
\frac{-5}{x + 3} > 0, \quad x > -3;
\]

Ответ:

\[
(-0,5; +\infty).
\]

Неравенство а)

Задано неравенство: \( 1 < \frac{3x — 1}{x + 2} < 3 \)

1. Рассмотрим первое неравенство: \( \frac{3x — 1}{x + 2} > 1 \)

Переносим 1 на правую сторону:

\( \frac{3x — 1 — (x + 2)}{x + 2} > 0 \)

Упрощаем числитель:

\( \frac{2x — 3}{x + 2} > 0 \)

Корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( 2x — 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5 \)
• Знаменатель: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

Теперь определим, где выражение положительно:

• Если \( x < -2 \), то выражение отрицательное;
• Если \( x > 1.5 \), то выражение положительное;

Таким образом, решение первого неравенства: \( x < -2 \) или \( x > 1.5 \).

2. Рассмотрим второе неравенство: \( \frac{3x — 1}{x + 2} < 3 \)

Переносим 3 на правую сторону:

\( \frac{3x — 1 — 3(x + 2)}{x + 2} > 0 \)

Упрощаем числитель:

\( \frac{-7}{x + 2} > 0 \)

Решаем неравенство \( \frac{-7}{x + 2} > 0 \). Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным, то есть:

\( x + 2 < 0 \Rightarrow x > -2 \)

Таким образом, решение второго неравенства: \( x > -2 \).

Ответ:

Решение системы: \( x > 1.5 \).

Неравенство б)

Задано неравенство: \( -1 < \frac{x — 2}{x + 3} < 1 \)

1. Рассмотрим первое неравенство: \( \frac{x — 2}{x + 3} > -1 \)

Переносим \(-1\) на правую сторону:

\( \frac{x — 2 + x + 3}{x + 3} > 0 \)

Упрощаем числитель:

\( \frac{2x + 1}{x + 3} > 0 \)

Корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.5 \)
• Знаменатель: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)

Теперь определим, где выражение положительно:

• Если \( x < -3 \), то выражение отрицательное;
• Если \( x > -0.5 \), то выражение положительное;

Таким образом, решение первого неравенства: \( x < -3 \) или \( x > -0.5 \).

2. Рассмотрим второе неравенство: \( \frac{x — 2}{x + 3} < 1 \)

Переносим 1 на правую сторону:

\( \frac{x — 2 — x — 3}{x + 3} > 0 \)

Упрощаем числитель:

\( \frac{-5}{x + 3} > 0 \)

Решаем неравенство \( \frac{-5}{x + 3} > 0 \). Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным, то есть:

\( x + 3 < 0 \Rightarrow x > -3 \)

Таким образом, решение второго неравенства: \( x > -3 \).

Ответ:

\[
(-0,5; +\infty).
\]