ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 386 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), проходящей через точку этого графика с абсциссой:

а) x=-1, если f(x)=4x^2; б) x=2, если f(x)=-2x^2.

Уравнение касательной:

а)

\[
f(x) = 4x^2, \quad x = -1;
\]

\[
f(-1) = 4 \cdot (-1)^2 = 4;
\]

\[
y(-1) = -k + b = 4; \quad b = k + 4;
\]

\[
y = -kx + k + 4;
\]

\[
4x^2 = -kx + k + 4;
\]

\[
4x^2 + kx — k — 4 = 0;
\]

\[
D = k^2 + 4 \cdot 4(k + 4) = 0;
\]

\[
k^2 + 16k + 64 = 0;
\]

\[
(k + 8)^2 = 0, \quad k = -8;
\]

\[
b = -8 + 4 = -4;
\]

Ответ:

\[
y = -8x — 4.
\]

б)

\[
f(x) = -2x^2, \quad x = 2;
\]

\[
f(2) = -2 \cdot 2^2 = -8;
\]

\[
y(2) = 2k + b = -8; \quad b = -2k — 8;
\]

\[
-2x^2 = kx — 2k — 8;
\]

\[
2x^2 + kx — 2k — 8 = 0;
\]

\[
D = k^2 + 4 \cdot 2(2k + 8) = 0;
\]

\[
k^2 + 16k + 64 = 0;
\]

\[
(k + 8)^2 = 0, \quad k = -8;
\]

\[
b = 16 — 8 = 8;
\]

Ответ:

\[
y = -8x + 8.
\]

Уравнение касательной а)

Задано уравнение функции: \( f(x) = 4x^2 \), точка касания: \( x = -1 \)

1. Находим значение функции в точке касания:

\( f(-1) = 4 \cdot (-1)^2 = 4 \)

2. Уравнение касательной имеет вид \( y = -kx + b \), где \(k\) — угловой коэффициент касательной, а \(b\) — её пересечение с осью \(y\). Из уравнения касательной для \(x = -1\) получаем:

\( y(-1) = -k(-1) + b = 4 \), что даёт \( k + b = 4 \), то есть \( b = k + 4 \).

3. Подставляем значение \( b \) в уравнение касательной:

\( y = -kx + k + 4 \)

4. Приравниваем уравнение касательной и функции \( f(x) = 4x^2 \) в точке касания:

\( 4x^2 = -kx + k + 4 \)

5. Переносим все в одну сторону:

\( 4x^2 + kx — k — 4 = 0 \)

6. Вычисляем дискриминант для этого уравнения по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \(a = 4\), \(b = k\), и \(c = -k — 4\):

\( D = k^2 + 4 \cdot 4(k + 4) = 0 \)

\( D = k^2 + 16k + 64 = 0 \)

7. Получаем квадратное уравнение:

\( (k + 8)^2 = 0 \), отсюда \( k = -8 \)

8. Теперь находим \( b \):

\( b = -8 + 4 = -4 \)

Ответ:

Уравнение касательной: \( y = -8x — 4 \)

Уравнение касательной б)

Задано уравнение функции: \( f(x) = -2x^2 \), точка касания: \( x = 2 \)

1. Находим значение функции в точке касания:

\( f(2) = -2 \cdot 2^2 = -8 \)

2. Уравнение касательной имеет вид \( y = kx + b \), где \(k\) — угловой коэффициент касательной, а \(b\) — её пересечение с осью \(y\). Из уравнения касательной для \(x = 2\) получаем:

\( y(2) = 2k + b = -8 \), что даёт \( b = -2k — 8 \).

3. Подставляем значение \( b \) в уравнение касательной:

\( y = kx — 2k — 8 \)

4. Приравниваем уравнение касательной и функции \( f(x) = -2x^2 \) в точке касания:

\( -2x^2 = kx — 2k — 8 \)

5. Переносим все в одну сторону:

\( 2x^2 + kx — 2k — 8 = 0 \)

6. Вычисляем дискриминант для этого уравнения:

\( D = k^2 + 4 \cdot 2(2k + 8) = 0 \)

\( D = k^2 + 16k + 64 = 0 \)

7. Получаем квадратное уравнение:

\( (k + 8)^2 = 0 \), отсюда \( k = -8 \)

8. Теперь находим \( b \):

\( b = 16 — 8 = 8 \)

Ответ:

Уравнение касательной: \( y = -8x + 8 \)