ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 385 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Числа m и n являются корнями уравнения x^2+ax+b=0 с параметрами a и b. Составьте биквадратное уравнение с теми же параметрами, имеющее четыре корня: -m, -n, m и n.

Дано уравнение:

\[
x^2 + ax + b = 0; \quad x_1 = m, \ x_2 = n;
\]

1) По теореме Виета:

\[
m + n = -a, \quad m \cdot n = b;
\]

\[
(m + n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn; \quad m^2 + n^2 = a^2 — 2b;
\]

2) Искомое уравнение:

\[
(x — m)(x + m)(x — n)(x + n) = 0;
\]

\[
(x^2 — m^2) \cdot (x^2 — n^2) = 0;
\]

\[
x^4 — n^2x^2 — m^2x^2 + m^2n^2 = 0;
\]

\[
x^4 — (n^2 + m^2)x^2 + m^2n^2 = 0;
\]

\[
x^4 — (a^2 — 2b)x^2 + b^2 = 0;
\]

Ответ:

\[
x^4 — (a^2 — 2b)x^2 + b^2 = 0.
\]

Задано уравнение: \( x^2 + ax + b = 0 \); \( x_1 = m, \ x_2 = n \)

1) По теореме Виета:

Для уравнения \( x^2 + ax + b = 0 \) по теореме Виета имеем:

• Сумма корней: \( m + n = -a \),
• Произведение корней: \( m \cdot n = b \).

Теперь рассмотрим выражение для суммы квадратов корней:

\( (m + n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn \)

Подставим значения из теоремы Виета:

\( (m + n)^2 = (-a)^2 = a^2 \), и \( 2mn = 2b \). Получаем:

\( a^2 = m^2 + n^2 + 2b \)

Преобразуем его для нахождения \( m^2 + n^2 \):

\( m^2 + n^2 = a^2 — 2b \)

2) Искомое уравнение:

Теперь найдём уравнение, имеющее корни \( m \) и \( n \). Начнём с произведения линейных выражений для корней:

\( (x — m)(x + m)(x — n)(x + n) = 0 \)

Это выражение можно упростить, используя разность квадратов:

\( (x^2 — m^2) \cdot (x^2 — n^2) = 0 \)

Теперь раскроем скобки и получим:

\( x^4 — n^2x^2 — m^2x^2 + m^2n^2 = 0 \)

Собираем подобные слагаемые:

\( x^4 — (n^2 + m^2)x^2 + m^2n^2 = 0 \)

Теперь подставим выражение для \( m^2 + n^2 \), которое мы нашли ранее:

\( x^4 — (a^2 — 2b)x^2 + b^2 = 0 \)

Ответ:

\( x^4 — (a^2 — 2b)x^2 + b^2 = 0 \)