ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 383 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра b уравнение x^4-bx^2-(b+1)=0 имеет два корня?

Существует два корня:

\[
x^4 — bx^2 — (b + 1) = 0;
\]

\[
D = b^2 + 4(b + 1) = b^2 + 4b + 4 = (b + 2)^2, \ \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{b — (b + 2)}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{b + (b + 2)}{2} = b + 1;
\]

Второй корень:

\[
b + 1 > 0, \ b > -1;
\]

Ответ:

\[
b > -1.
\]

Задано уравнение: \( x^4 — bx^2 — (b + 1) = 0 \)

1. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно \(x^2\). Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 — by — (b + 1) = 0 \)

2. Теперь находим дискриминант \(D\) для этого квадратного уравнения. Дискриминант для уравнения вида \( ay^2 + by + c = 0 \) вычисляется по формуле:

\( D = b^2 — 4ac \)

Для уравнения \( y^2 — by — (b + 1) = 0 \), \(a = 1\), \(b = -b\), и \(c = -(b + 1)\), подставляем в формулу дискриминанта:

\( D = (-b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-(b + 1)) \)

\( D = b^2 + 4(b + 1) \)

3. Упростим выражение для дискриминанта:

\( D = b^2 + 4b + 4 = (b + 2)^2 \)

4. Теперь находим корни этого квадратного уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-b) — \sqrt{(b + 2)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{b — (b + 2)}{2} = -1 \)

\( y_2 = \frac{-(-b) + \sqrt{(b + 2)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{b + (b + 2)}{2} = b + 1 \)

5. Переходим обратно к переменной \(x\), используя \( y = x^2 \). Для первого корня \( y_1 = -1 \), но так как \(x^2 = -1\) не имеет действительных решений, то этот корень не даёт действительных значений для \(x\).

6. Для второго корня \( y_2 = b + 1 \), получаем:

\( x^2 = b + 1 \), то есть \( x = \pm \sqrt{b + 1} \).

7. Чтобы корни существовали, необходимо, чтобы \( b + 1 \geq 0 \), то есть \( b > -1 \).

Ответ: \( b > -1 \).