ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 382 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно x уравнение, используя разложение на множители:

а) x^3+x=a^2x-a; б) x(x^2-1)-2a=2ax.

Решить уравнение:

a)
\[
x^3 + x = a^2x — a;
\]

\[
x^3 + x — a^2x + a = 0;
\]

\[
x(x^2 — a^2) + x + a = 0;
\]

\[
x(x + a)(x — a) + (x + a) = 0;
\]

\[
(x + a)(x^2 — ax + 1) = 0;
\]

\[
D = a^2 — 4, \ \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — 4}}{2}.
\]

Ответ:
Если \(-2 < a < 2\), то \(x = -a\);
Если \(a = -2\), то \(x = -1\) и \(x = 2\);
Если \(a = 2\), то \(x = -2\) и \(x = 1\);
Если \(|a| > 2\), то \(x_1 = -a\) и \(x_2 = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — 4}}{2}\).

b)
\[
x(x^2 — 1) — 2a = 2ax;
\]

\[
x^3 — x — 2a — 2ax = 0;
\]

\[
x(x^2 — 1) — 2a(x + 1) = 0;
\]

\[
x(x + 1)(x — 1) — 2a(x + 1) = 0;
\]

\[
(x + 1)(x^2 — x — 2a) = 0;
\]

\[
D = 1 + 8a, \ \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8a}}{2}.
\]

Ответ:
Если \(a < -\frac{1}{8}\), то \(x = -1\);
Если \(a = -\frac{1}{8}\), то \(x = -1\) и \(x = \frac{1}{2}\);
Если \(a > -\frac{1}{8}\), то \(x_1 = -1\) и \(x_2 = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8a}}{2}\).

Уравнение а)

Задано уравнение: \( x^3 + x = a^2x — a \)

1. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\( x^3 + x — a^2x + a = 0 \)

2. Группируем по \(x\):

\( x(x^2 — a^2) + x + a = 0 \)

3. Раскроем скобки:

\( x(x + a)(x — a) + (x + a) = 0 \)

4. Вынесем общий множитель \((x + a)\):

\( (x + a)(x^2 — ax + 1) = 0 \)

5. Рассмотрим два случая:

• Первый случай: \( x + a = 0 \), то есть \( x = -a \);
• Второй случай: \( x^2 — ax + 1 = 0 \), решаем это квадратное уравнение. Для него дискриминант \( D = a^2 — 4 \).

Корни квадратного уравнения:

\( x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — 4}}{2} \)

Ответ:

• Если \( -2 < a < 2 \), то \( x = -a \);
• Если \( a = -2 \), то \( x = -1 \) и \( x = 2 \);
• Если \( a = 2 \), то \( x = -2 \) и \( x = 1 \);
• Если \( |a| > 2 \), то \( x_1 = -a \) и \( x_2 = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — 4}}{2} \).

Уравнение б)

Задано уравнение: \( x(x^2 — 1) — 2a = 2ax \)

1. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\( x^3 — x — 2a — 2ax = 0 \)

2. Группируем по \(x\):

\( x(x^2 — 1) — 2a(x + 1) = 0 \)

3. Раскроем скобки:

\( x(x + 1)(x — 1) — 2a(x + 1) = 0 \)

4. Вынесем общий множитель \((x + 1)\):

\( (x + 1)(x^2 — x — 2a) = 0 \)

5. Рассмотрим два случая:

• Первый случай: \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \);
• Второй случай: \( x^2 — x — 2a = 0 \), решаем это квадратное уравнение. Для него дискриминант \( D = 1 + 8a \).

Корни квадратного уравнения:

\( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8a}}{2} \)

Ответ:

• Если \( a < -\frac{1}{8} \), то \( x = -1 \);
• Если \( a = -\frac{1}{8} \), то \( x = -1 \) и \( x = \frac{1}{2} \);
• Если \( a > -\frac{1}{8} \), то \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8a}}{2} \).