ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 381 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение x^2+bx+c=0 не имеет рациональных корней, если значениями параметров b и c являются целые нечётные числа.

Нет рациональных корней:

\[
x^2 + bx + c = 0;
\]

\[
x^2 + (2n + 1)x + (2k + 1) = 0;
\]

\[
D = (2n + 1)^2 — 4 \cdot (2k + 1);
\]

\[
D = 4n^2 + 4n + 1 — 8k — 4;
\]

\[
D = 4n^2 + 4n — (8k + 3);
\]

Не имеет корней:

\[
4n^2 + 4n — (8k + 3) > 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot (8k + 3);
\]

\[
D = 16 + 128k + 48 = 128k + 64;
\]

\[
D = 64(2k + 1) = 64c, \ тогда:
\]

\[
x = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{c}, \quad \sqrt{c} \notin \mathbb{Z};
\]

Что и требовалось доказать.

Задано уравнение: \( x^2 + bx + c = 0 \)

1. Рассмотрим конкретное уравнение: \( x^2 + (2n + 1)x + (2k + 1) = 0 \)

2. Для этого уравнения находим дискриминант \(D\), используя формулу для дискриминанта квадратного уравнения:

\( D = B^2 — 4AC \), где \( A = 1 \), \( B = 2n + 1 \), и \( C = 2k + 1 \).

Подставляем значения для \( A \), \( B \) и \( C \):

\( D = (2n + 1)^2 — 4 \cdot (2k + 1) \)

3. Раскрываем и упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = 4n^2 + 4n + 1 — 8k — 4 \)

\( D = 4n^2 + 4n — (8k + 3) \)

4. Теперь мы рассматриваем неравенство для того, чтобы у нас не было корней:

\( 4n^2 + 4n — (8k + 3) > 0 \)

5. Рассчитаем дискриминант для этого неравенства. Используем формулу для дискриминанта:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (8k + 3) \)

6. Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\( D = 16 + 128k + 48 = 128k + 64 \)

7. Упрощаем:

\( D = 64(2k + 1) = 64c \), где \( c = 2k + 1 \).

8. Теперь находим корни уравнения с этим дискриминантом:

\( x = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{c} \), где \( \sqrt{c} \notin \mathbb{Z} \), что означает, что корни не могут быть рациональными.

Что и требовалось доказать: Уравнение не имеет рациональных корней.