ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 380 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение (a+b+c)x^2=2(a+b)x-a-b+c имеет рациональные корни при рациональных значениях параметров a, b и c.

Имеет рациональные корни:

\[
(a + b + c)x^2 = 2(a + b)x — a — b + c;
\]

\[
(a + b + c)x^2 — 2(a + b)x + a + b — c = 0;
\]

\[
D = 4(a + b)^2 — 4(a + b + c)(a + b — c);
\]

\[
D = 4(a + b)^2 — 4((a + b)^2 — c^2) = 4c^2 \geq 0;
\]

Что и требовалось доказать.

Задано уравнение: \( (a + b + c)x^2 = 2(a + b)x — a — b + c \)

1. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\( (a + b + c)x^2 — 2(a + b)x + a + b — c = 0 \)

2. Это квадратное уравнение относительно \(x\) в виде \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где:

• \( A = a + b + c \),
• \( B = -2(a + b) \),
• \( C = a + b — c \).

3. Рассчитаем дискриминант \(D\) для данного уравнения. Дискриминант для уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) вычисляется по формуле:

\( D = B^2 — 4AC \)

Подставляем значения для \(A\), \(B\) и \(C\):

\( D = (-2(a + b))^2 — 4(a + b + c)(a + b — c) \)

4. Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = 4(a + b)^2 — 4(a + b + c)(a + b — c) \)

5. Раскроем скобки в выражении для \(D\):

\( D = 4(a + b)^2 — 4\left((a + b)^2 — c^2\right) \)

6. Упрощаем:

\( D = 4(a + b)^2 — 4(a + b)^2 + 4c^2 \)

7. Получаем:

\( D = 4c^2 \)

8. Так как \(D = 4c^2 \geq 0\), то дискриминант всегда неотрицателен. Это означает, что уравнение имеет реальные корни, и поскольку дискриминант является полным квадратом ( \(D = 4c^2\) ), то корни уравнения будут рациональными.

Что и требовалось доказать: Уравнение имеет рациональные корни.