ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 379 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра p уравнение (1-p^2)x^2+2px-1=0 имеет два корня, принадлежащие промежутку (0; 1)?

Задано уравнение:
\[
(1 — p^2)x^2 + 2px — 1 = 0;
\]

\[
D = (2p)^2 + 4 \cdot (1 — p^2);
\]

\[
D = 4p^2 + 4 — 4p^2 = 4,\ тогда:
\]

\[
x_1 = \frac{-2p — 2}{2(1 — p^2)} = \frac{-2(p + 1)}{2(1 — p)(1 + p)} = \frac{1}{p — 1};
\]

\[
x_2 = \frac{-2p + 2}{2(1 — p^2)} = \frac{2(1 — p)}{2(1 — p)(1 + p)} = \frac{1}{p + 1};
\]

1) Первый корень:

\[
0 < \frac{1}{p — 1} < 1;
\]

\[
\frac{1}{p — 1} > 0, \quad p — 1 > 0, \quad p > 1;
\]

\[
\frac{1}{p — 1} < 1, \quad p — 1 > 1, \quad p > 2;
\]

2) Второй корень:

\[
0 < \frac{1}{p + 1} < 1;
\]

\[
\frac{1}{p + 1} > 0, \quad p + 1 > 0, \quad p > -1;
\]

\[
\frac{1}{p + 1} < 1, \quad p + 1 > 1, \quad p > 0;
\]

Ответ:

\((2; +\infty).\)

Задано уравнение: \( (1 — p^2)x^2 + 2px — 1 = 0 \)

1. Рассчитаем дискриминант \(D\) для данного уравнения. У нас есть квадратное уравнение вида \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где:

• \( A = 1 — p^2 \),
• \( B = 2p \),
• \( C = -1 \).

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = B^2 — 4AC \)

Подставляем значения для \(A\), \(B\) и \(C\):

\( D = (2p)^2 — 4 \cdot (1 — p^2) \cdot (-1) \)

Раскроем и упростим:

\( D = 4p^2 + 4(1 — p^2) = 4p^2 + 4 — 4p^2 = 4 \)

2. Теперь найдём корни уравнения, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\( x_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} \) и \( x_2 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A} \)

Подставляем значения для \(B\), \(D\) и \(A\):

\( x_1 = \frac{-2p + 2}{2(1 — p^2)} = \frac{-2(p + 1)}{2(1 — p)(1 + p)} = \frac{1}{p — 1} \)

\( x_2 = \frac{-2p — 2}{2(1 — p^2)} = \frac{2(1 — p)}{2(1 — p)(1 + p)} = \frac{1}{p + 1} \)

1) Первый корень: \( x_1 = \frac{1}{p — 1} \)

Рассмотрим неравенство \( 0 < \frac{1}{p — 1} < 1 \):

Для того чтобы \( \frac{1}{p — 1} > 0 \), нам нужно, чтобы \( p — 1 > 0 \), то есть \( p > 1 \).

Для того чтобы \( \frac{1}{p — 1} < 1 \), нам нужно, чтобы \( p — 1 > 1 \), то есть \( p > 2 \).

Таким образом, \( x_1 \) лежит на интервале \( (2; +\infty) \).

2) Второй корень: \( x_2 = \frac{1}{p + 1} \)

Рассмотрим неравенство \( 0 < \frac{1}{p + 1} < 1 \):

Для того чтобы \( \frac{1}{p + 1} > 0 \), нам нужно, чтобы \( p + 1 > 0 \), то есть \( p > -1 \).

Для того чтобы \( \frac{1}{p + 1} < 1 \), нам нужно, чтобы \( p + 1 > 1 \), то есть \( p > 0 \).

Таким образом, \( x_2 \) лежит на интервале \( (0; +\infty) \).

Ответ: Наибольшее значение пересечения интервалов \( (2; +\infty) \) и \( (0; +\infty) \) — это интервал \( (2; +\infty) \).