ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 378 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра b уравнение 2x^2-(2b-5)x+b-3=0 имеет два корня, принадлежащие промежутку (—1; 1)?

Задано уравнение:
\[
2x^2 — (2b — 5)x + b — 3 = 0;
\]

\[
D = (2b — 5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (b — 3);
\]

\[
D = 4b^2 — 20b + 25 — 8b + 24;
\]

\[
D = 4b^2 — 28b + 49 = (2b — 7)^2,\ тогда:
\]

\[
x_1 = \frac{2b — 5 + 2b — 7}{2 \cdot 2} = \frac{4b — 12}{4} = b — 3;
\]

\[
x_2 = \frac{2b — 5 — 2b + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};
\]

Корни на отрезке:

\[
-1 < b — 3 < 1;
\]

\[
2 < b < 4;
\]

Ответ:
\((2; 3,5) \cup (3,5; 4).\)

Задано уравнение: \( 2x^2 — (2b — 5)x + b — 3 = 0 \)

1. Рассчитаем дискриминант \(D\) для данного уравнения. У нас есть квадратное уравнение вида \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где:

• \( A = 2 \),
• \( B = -(2b — 5) = -2b + 5 \),
• \( C = b — 3 \).

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = B^2 — 4AC \)

Подставляем значения для \(A\), \(B\) и \(C\):

\( D = (-2b + 5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (b — 3) \)

2. Раскроем скобки и упростим выражение для \(D\):

\( D = (2b — 5)^2 — 8(b — 3) \)

\( D = 4b^2 — 20b + 25 — 8b + 24 \)

Теперь упрощаем выражение:

\( D = 4b^2 — 28b + 49 \)

Это выражение можно записать как полный квадрат:

\( D = (2b — 7)^2 \)

3. Найдем корни уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения:

Корни уравнения будут равны:

\( x_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} \) и \( x_2 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A} \)

Подставляем значения для \(B\), \(D\) и \(A\):

\( x_1 = \frac{2b — 5 + 2b — 7}{4} = \frac{4b — 12}{4} = b — 3 \)

\( x_2 = \frac{2b — 5 — 2b + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

4. Для того чтобы корни \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяли уравнению, нужно, чтобы \(x_1\) находился в пределах отрезка. Для этого решим неравенство для \(x_1 = b — 3\):

Решим неравенство:

\( -1 < b — 3 < 1 \)

5. Добавим 3 ко всем частям неравенства:

\( 2 < b < 4 \)

6. Таким образом, корни на отрезке будут равны:

Ответ: \( (2; 3.5) \cup (3.5; 4) \).