ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 374 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно y уравнение:

а) y^2/(4a)=y/a-y/4;

б) ((y+1)^2-y+2)/4=y/2+6/a;

в) (y-1)^2/2=(1-6y)/c+y^2/2.

Решить уравнение:

а)
\[\frac{y^2}{4a} — 1 = \frac{y}{a} — \frac{y}{4};\]

\[y^2 — 4a = 4y — ay;\]

\[y^2 + (a — 4)y — 4a = 0;\]

\[D = (a — 4)^2 + 4 \cdot 4a = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2,\] тогда:

\[y_1 = \frac{4 — a — a — 4}{2} = -a\] и \[y_2 = \frac{4 — a + a + 4}{2} = 4;\]

Ответ:
Если \(a = 0\), то корней нет;
Если \(a = -4\), то \(x = 4;\)
Если \(a \neq 0\) и \(a \neq -4\), то \(x = -a\) и \(x = 4.\)

б)
\[\frac{(y + 1)^2}{4} + 2 = \frac{y}{2} + \frac{6}{a};\]

\[a(y^2 + 2y + 1) + 2a = 2ay + 24 = 0;\]

\[ay^2 + 2ay + a + 2a — 2ay — 24 = 0;\]

\[ay^2 + 3a — 24 = 0;\]

\[ay^2 = 24 — 3a;\]

\[y^2 = \frac{24 — 3a}{a};\]

Ответ:
Если \(a \leq 0\) и \(a > 8\), то корней нет;
Если \(0 < a \leq 8\), то \(y = \pm \sqrt{\frac{24 — 3a}{a}}.\)

в)

\[\frac{(y — 1)^2}{2} = \frac{1 — 6y}{c} + \frac{y^2}{2};\]

\[c(y^2 — 2y + 1) = 2(1 — 6y) + cy^2;\]

\[cy^2 — 2cy + c = 2 — 12y + cy^2;\]

\[2cy — 12y = c — 2;\]

\[2y(c — 6) = c — 2;\]

\[y = \frac{c — 2}{2(c — 6)};\]

Ответ:
Если \(c = 0\) или \(c = 6\), то корней нет;
Если \(c \neq 0\) и \(c \neq 6\), то \(y = \frac{c — 2}{2c — 12}.\)

а)

Уравнение: \( \frac{y^2}{4a} — 1 = \frac{y}{a} — \frac{y}{4} \)

Первым шагом избавляемся от дробей. Для этого умножим обе стороны уравнения на 4a:

\( 4a \cdot \left(\frac{y^2}{4a} — 1\right) = 4a \cdot \left(\frac{y}{a} — \frac{y}{4}\right) \)

Распределяем множители:

\( y^2 — 4a = 4y — ay \)

Группируем все члены на одну сторону уравнения:

\( y^2 — 4a = 4y — ay \quad \Rightarrow \quad y^2 + (a — 4)y — 4a = 0 \)

Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = (a — 4)^2 + 4 \cdot 4a = a^2 + 8a + 16 \)

Получаем полный квадрат:

\( D = (a + 4)^2 \)

Так как дискриминант является полным квадратом, то уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле:

\( y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \) и \( y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = a — 4 \), и \( D = (a + 4)^2 \).

Подставляем в формулу корней:

\( y_1 = \frac{4 — a — a — 4}{2} = -a \)

\( y_2 = \frac{4 — a + a + 4}{2} = 4 \)

Ответ:

• Если \( a = 0 \), то уравнение не имеет решений (корней нет), так как дроби будут неопределены;
• Если \( a = -4 \), то уравнение даёт корень \( y = 4 \);
• Если \( a \neq 0 \) и \( a \neq -4 \), то уравнение имеет два корня: \( y = -a \) и \( y = 4 \).

б)

Уравнение: \( \frac{(y + 1)^2}{4} + 2 = \frac{y}{2} + \frac{6}{a} \)

Для начала избавимся от дробей. Умножим обе стороны уравнения на 4:

\( 4 \cdot \left(\frac{(y + 1)^2}{4} + 2\right) = 4 \cdot \left(\frac{y}{2} + \frac{6}{a}\right) \)

После умножения получаем:

\( (y + 1)^2 + 8 = 2y + \frac{24}{a} \)

Раскрываем квадрат на левой стороне:

\( y^2 + 2y + 1 + 8 = 2y + \frac{24}{a} \)

Убираем все переменные с одной стороны:

\( y^2 + 2y + 9 — 2y — \frac{24}{a} = 0 \)

Упрощаем:

\( y^2 + 9 — \frac{24}{a} = 0 \)

Теперь выражаем \( y^2 \):

\( y^2 = \frac{24 — 3a}{a} \)

Ответ:

• Если \( a \leq 0 \) или \( a > 8 \), то корней нет, так как выражение в правой части уравнения будет отрицательным;
• Если \( 0 < a \leq 8 \), то уравнение имеет два корня: \( y = \pm \sqrt{\frac{24 — 3a}{a}} \).

в)

Уравнение: \( \frac{(y — 1)^2}{2} = \frac{1 — 6y}{c} + \frac{y^2}{2} \)

Переносим все в одну сторону:

\( c(y^2 — 2y + 1) = 2(1 — 6y) + cy^2 \)

Раскрываем скобки на обеих сторонах:

\( cy^2 — 2cy + c = 2 — 12y + cy^2 \)

Убираем \( cy^2 \) с обеих сторон:

\( -2cy + c = 2 — 12y \)

Группируем по \( y \):

\( 2cy — 12y = c — 2 \)

Выражаем \( y \):

\( y = \frac{c — 2}{2(c — 6)} \)

Ответ:

• Если \( c = 0 \) или \( c = 6 \), то уравнение не имеет решений, так как в знаменателе возникает деление на ноль;
• Если \( c \neq 0 \) и \( c \neq 6 \), то корень уравнения будет \( y = \frac{c — 2}{2(c — 6)} \).