ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 373 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно x уравнение:

а) ax^2-x=0; д) x^2-6x+a=0;

б) x^2+4a=0; е) ax^2+4x-2=0;

в) ax^2-6=3x^2-2a; ж) x^2-8x=c^2-8c;

г) px^2+16=4x^2+p^2; з) x^2-6x=a^2+6x.

Решить уравнение:

а)
\[ax^2 — x = 0;\]

\[x(ax — 1) = 0;\]

\[x_1 = 0, \; x_2 = \frac{1}{a};\]

Ответ:
Если \(a = 0\), то \(x = 0;\)
Если \(a \neq 0\), то \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{a}.\)

б)
\[x^2 + 4a = 0;\]

\[x^2 = -4a;\]

Ответ:
Если \(a = 0\), то \(x = 0;\)
Если \(a > 0\), то корней нет;
Если \(a < 0\), то \(x = \pm 2\sqrt{-a}.\)

в)
\[ax^2 — 6 = 3x^2 — 2a;\]

\[ax^2 — 3x^2 = 6 — 2a;\]

\[x^2(a — 3) = 2(3 — a);\]

\[x^2 = \frac{2(3 — a)}{a — 3} = -2.\]

Ответ:
Если \(a = 3\), то любое число;
Если \(a \neq 3\), то корней нет.

г)
\[px^2 + 16 = 4x^2 + p^2;\]

\[px^2 — 4x^2 = p^2 — 16;\]

\[x^2(p — 4) = (p + 4)(p — 4);\]

\[x^2 = \frac{(p + 4)(p — 4)}{p — 4} = p + 4;\]

Ответ:
Если \(p = -4\), то \(x = 0;\)
Если \(p = 4\), то любое число;
Если \(p < -4\), то корней нет;
Если \(p > -4\), то \(x = \pm \sqrt{p + 4}.\)

д)
\[x^2 — 6x + a = 0;\]

\[D = 6^2 — 4a = 4(9 — a),\] тогда:

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{4(9 — a)}}{2} = 3 \pm \sqrt{9 — a};
\]

Ответ:
Если \(a = 9\), то \(x = 3;\)
Если \(a > 9\), то корней нет;
Если \(a < 9\), то \(x = 3 \pm \sqrt{9 — a}.\)

е)
\[ax^2 + 4x — 2 = 0;\]

\[D = 4^2 + 4 \cdot 2 \cdot a = 4(4 + 2a),\] тогда:

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4(4 + 2a)}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 2a}}{a};
\]

Ответ:
Если \(a = -2\), то \(x = 1;\)
Если \(a = 0\), то \(x = 0.5;\)
Если \(a < -2\), то корней нет;
Если \(a > -2\), то \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 2a}}{a}.\)

ж)
\[x^2 — 8x = c^2 — 8c;\]

\[x^2 — 8x + 8c — c^2 = 0;\]

\[D = 8^2 — 4(8c — c^2) = 64 — 32c + 4c^2;\]

\[D = 4(c^2 — 8c + 16) = 4(c — 4)^2,\] тогда:

\[
x_1 = \frac{8 — 2(c — 4)}{2} = 8 — c;\]
\[x_2 = \frac{8 + 2(c — 4)}{2} = c;
\]

Ответ: \(c; 8 — c.\)

з)
\[x^2 — 6a = a^2 + 6x;\]

\[x^2 — 6x — 6a — a^2 = 0;\]

\[D = 6^2 + 4(6a + a^2) = 36 + 24a + 4a^2;\]

\[D = 4(a^2 + 6a + 9) = 4(a + 3)^2,\] тогда:

\[
x_1 = \frac{6 — 2(a + 3)}{2} = -a;\]
\[x_2 = \frac{6 + 2(a + 3)}{2} = a + 6;
\]

Ответ: \(-a; a + 6.\)

а)

Уравнение: \( ax^2 — x = 0 \)

Перепишем уравнение:

\( x(ax — 1) = 0 \)

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

• Первый случай: \( x = 0 \).
• Второй случай: \( ax — 1 = 0 \), из которого находим \( x = \frac{1}{a} \).

Ответ:

• Если \( a = 0 \), то уравнение сводится к \( 0 = 0 \), что всегда верно. Таким образом, \( x = 0 \).
• Если \( a \neq 0 \), то уравнение имеет два корня: \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{a} \).

б)

Уравнение: \( x^2 + 4a = 0 \)

Переносим все в одну сторону:

\( x^2 = -4a \)

Здесь важно рассматривать значение \( a \), так как квадрат числа всегда неотрицателен:

• Если \( a = 0 \), то уравнение \( x^2 = 0 \), и корень будет \( x = 0 \).
• Если \( a > 0 \), то правая часть уравнения будет отрицательной, а квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому корней нет.
• Если \( a < 0 \), то правая часть положительная, и уравнение имеет два корня: \( x = \pm 2\sqrt{-a} \).

Ответ:

• Если \( a = 0 \), то \( x = 0 \);
• Если \( a > 0 \), то корней нет;
• Если \( a < 0 \), то \( x = \pm 2\sqrt{-a} \).

в)

Уравнение: \( ax^2 — 6 = 3x^2 — 2a \)

Переносим все в одну сторону:

\( ax^2 — 3x^2 = 6 — 2a \)

Группируем по \( x^2 \):

\( x^2(a — 3) = 2(3 — a) \)

Теперь выражаем \( x^2 \):

\( x^2 = \frac{2(3 — a)}{a — 3} \)

Замечаем, что результат всегда отрицателен, так как выражение справа всегда меньше нуля. Следовательно, уравнение не имеет решений, если \( a \neq 3 \).

Ответ:

• Если \( a = 3 \), то уравнение становится \( 0 = 0 \), и решение может быть любым числом;
• Если \( a \neq 3 \), то уравнение не имеет решений.

г)

Уравнение: \( px^2 + 16 = 4x^2 + p^2 \)

Переносим все в одну сторону:

\( px^2 — 4x^2 = p^2 — 16 \)

Группируем по \( x^2 \):

\( x^2(p — 4) = (p + 4)(p — 4) \)

Выражаем \( x^2 \):

\( x^2 = \frac{(p + 4)(p — 4)}{p — 4} = p + 4 \)

Ответ:

• Если \( p = -4 \), то \( x = 0 \);
• Если \( p = 4 \), то уравнение имеет бесконечно много решений;
• Если \( p < -4 \), то корней нет, так как \( p + 4 \) будет отрицательным;
• Если \( p > -4 \), то \( x = \pm \sqrt{p + 4} \), и уравнение имеет два решения.

д)

Уравнение: \( x^2 — 6x + a = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 6^2 — 4a = 4(9 — a) \)

Корни уравнения по формуле:

\( x = \frac{6 \pm \sqrt{4(9 — a)}}{2} = 3 \pm \sqrt{9 — a} \)

Ответ:

• Если \( a = 9 \), то уравнение имеет единственный корень: \( x = 3 \);
• Если \( a > 9 \), то дискриминант отрицателен, и корней нет;
• Если \( a < 9 \), то уравнение имеет два корня: \( x = 3 \pm \sqrt{9 — a} \).

е)

Уравнение: \( ax^2 + 4x — 2 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 4^2 + 4 \cdot 2 \cdot a = 4(4 + 2a) \)

Корни уравнения по формуле:

\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{4(4 + 2a)}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 2a}}{a} \)

Ответ:

• Если \( a = -2 \), то \( x = 1 \);
• Если \( a = 0 \), то \( x = 0.5 \);
• Если \( a < -2 \), то корней нет;
• Если \( a > -2 \), то \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 2a}}{a} \), и уравнение имеет два корня.

ж)

Уравнение: \( x^2 — 8x = c^2 — 8c \)

Перепишем уравнение:

\( x^2 — 8x + 8c — c^2 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 8^2 — 4(8c — c^2) = 64 — 32c + 4c^2 \)

\( D = 4(c^2 — 8c + 16) = 4(c — 4)^2 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{8 — 2(c — 4)}{2} = 8 — c \)

\( x_2 = \frac{8 + 2(c — 4)}{2} = c \)

Ответ:

• Ответ: \( x = c \) и \( x = 8 — c \).

з)

Уравнение: \( x^2 — 6a = a^2 + 6x \)

Перепишем уравнение:

\( x^2 — 6x — 6a — a^2 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 6^2 + 4(6a + a^2) = 36 + 24a + 4a^2 \)

\( D = 4(a^2 + 6a + 9) = 4(a + 3)^2 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{6 — 2(a + 3)}{2} = -a \)

\( x_2 = \frac{6 + 2(a + 3)}{2} = a + 6 \)

Ответ:

• Ответ: \( x = -a \) и \( x = a + 6 \).