ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 371 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях a и b уравнение имеет корни:

а) (x-a)(x-b)=a^2; б) x^2-2ax+a^2-b^2-c^2=0.

Уравнение имеет корни:

а) \((x — a)(x — b) = a^2\):

\[x^2 — bx — ax + ab = a^2;\]

\[x^2 — (a + b)x + ab — a^2 = 0;\]

\[D = (a + b)^2 — 4(ab — a^2) \geq 0;\]

\[a^2 + 2ab + b^2 — 4ab + 4a^2 \geq 0;\]

\[a^2 — 2ab + b^2 + 4a^2 \geq 0;\]

\[(a — b)^2 + 4a^2 \geq 0;\]

Что и требовалось доказать.

б) \[x^2 — 2ax + a^2 — b^2 — c^2 = 0;\]

\[D = (2a)^2 — 4(a^2 — b^2 — c^2) \geq 0;\]

\[4a^2 — 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 \geq 0;\]

\[4b^2 + 4c^2 \geq 0;\]

Что и требовалось доказать.

а) \( (x — a)(x — b) = a^2 \)

1. Раскрываем скобки в уравнении \( (x — a)(x — b) = a^2 \):

\( (x — a)(x — b) = x^2 — bx — ax + ab \)

2. Упрощаем уравнение:

\( x^2 — (a + b)x + ab = a^2 \)

3. Переносим все элементы на одну сторону:

\( x^2 — (a + b)x + ab — a^2 = 0 \)

4. Вычисляем дискриминант для этого уравнения:

\( D = (a + b)^2 — 4(ab — a^2) \)

5. Раскрываем скобки:

\( D = a^2 + 2ab + b^2 — 4ab + 4a^2 \)

6. Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = a^2 — 2ab + b^2 + 4a^2 \)

7. Упрощаем дальше:

\( D = (a — b)^2 + 4a^2 \)

8. Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, \( D \geq 0 \), что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение всегда имеет корни, так как дискриминант всегда неотрицателен.

б) \( x^2 — 2ax + a^2 — b^2 — c^2 = 0 \)

1. Дискриминант для уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 — b^2 — c^2 = 0 \):

\( D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^2 — b^2 — c^2) \)

2. Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = 4a^2 — 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 \)

3. Упрощаем:

\( D = 4b^2 + 4c^2 \)

4. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, \( D \geq 0 \), и у уравнения всегда есть корни.

Ответ: Уравнение всегда имеет корни, так как дискриминант всегда неотрицателен.