ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 370 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:

а) \( 3x^2 + 6x + 2b = 0 \);

б) \( bx^2 — 16x + 8 = 0 \);

в) \( bx^2 + (b — 4)x + b — 2 = 0 \);

г) \( (b — 3)x^2 — 2(b — 9)x + b + 3 = 0 \)

Не имеет корней:

а) \( 3x^2 + 6x + 2b = 0 \);

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2b < 0;
\]

\[
36 — 24b < 0;
\]

\[
24b > 36, \quad b > 1.5;
\]

Ответ: \( (1.5; +\infty) \).

б) \( bx^2 — 16x + 8 = 0 \);

\[
D = 16^2 — 4 \cdot b \cdot 8 < 0;
\]

\[
256 — 32b < 0;
\]

\[
32b > 256, \quad b > 8;
\]

Ответ: \( (8; +\infty) \).

в) \( bx^2 + (b — 4)x + b — 2 = 0 \);

\[
D = (b — 4)^2 — 4b(b — 2) < 0;
\]

\[
b^2 — 8b + 16 — 4b^2 + 8b < 0;
\]

\[
3b^2 — 16 > 0;
\]

\[
(\sqrt{3b + 4})(\sqrt{3b — 4}) > 0;
\]

\[
b < \frac{4}{\sqrt{3}}, \quad b > \frac{4}{\sqrt{3}};
\]

Ответ: \( (-\infty; -\frac{4}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{4}{\sqrt{3}}; +\infty) \).

г) \( (b — 3)x^2 — 2(b — 9)x + b + 3 = 0 \);

\[
D = 4(b — 9)^2 — 4(b — 3)(b + 3) < 0;
\]

\[
4b^2 — 72b + 324 — 4b^2 + 36 < 0;
\]

\[
72b > 360, \quad b > 5;
\]

Ответ: \( (5; +\infty) \).

Общий принцип

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант меньше нуля:

$$D < 0$$

Где:

$$D = b^2 — 4ac$$

а)

Уравнение:

$$3x^2 + 6x + 2b = 0$$

Шаг 1. Выделим коэффициенты:

$$a = 3,\quad b = 6,\quad c = 2b$$

Шаг 2. Найдём дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2b = 36 — 24b$$

Шаг 3. Требуем, чтобы $D < 0$:

$$36 — 24b < 0 \Rightarrow 24b > 36 \Rightarrow b > \frac{36}{24} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{(1{,}5;\ +\infty)}$$

б)

Уравнение:

$$bx^2 — 16x + 8 = 0$$

Шаг 1. Коэффициенты:

$$a = b,\quad b = -16,\quad c = 8$$

Шаг 2. Дискриминант:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot b \cdot 8 = 256 — 32b$$

Шаг 3. Условие отсутствия корней:

$$256 — 32b < 0 \Rightarrow 32b > 256 \Rightarrow b > \frac{256}{32} = 8$$

Ответ:

$$\boxed{(8;\ +\infty)}$$

в)

Уравнение:

$$bx^2 + (b — 4)x + b — 2 = 0$$

Шаг 1. Коэффициенты:

$$a = b,\quad b = b — 4,\quad c = b — 2$$

Шаг 2. Формула дискриминанта:

$$D = (b — 4)^2 — 4 \cdot b \cdot (b — 2)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

• Первая часть:

$$(b — 4)^2 = b^2 — 8b + 16$$

• Вторая часть:

$$4b(b — 2) = 4b^2 — 8b$$

Подставим:

$$D = (b^2 — 8b + 16) — (4b^2 — 8b) = b^2 — 8b + 16 — 4b^2 + 8b = -3b^2 + 16$$

Шаг 4. Требуем $D < 0$:

$$-3b^2 + 16 < 0 \Rightarrow -3b^2 < -16 \Rightarrow b^2 > \frac{16}{3}$$

Шаг 5. Извлечём корень:

$$|b| > \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \Rightarrow b < -\frac{4}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad b > \frac{4}{\sqrt{3}}$$

Ответ:

$$\boxed{\left(-\infty;\ -\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\frac{4}{\sqrt{3}};\ +\infty\right)}$$

г)

Уравнение:

$$(b — 3)x^2 — 2(b — 9)x + b + 3 = 0$$

Шаг 1. Коэффициенты:

$$a = b — 3,\quad b = -2(b — 9),\quad c = b + 3$$

Шаг 2. Дискриминант:

$$D = [-2(b — 9)]^2 — 4(b — 3)(b + 3)$$

Считаем:

• Первая часть:

$$[-2(b — 9)]^2 = 4(b — 9)^2 = 4(b^2 — 18b + 81) = 4b^2 — 72b + 324$$

• Вторая часть:

$$4(b — 3)(b + 3) = 4(b^2 — 9) = 4b^2 — 36$$

Теперь:

$$D = 4b^2 — 72b + 324 — (4b^2 — 36) = 4b^2 — 72b + 324 — 4b^2 + 36 = -72b + 360$$

Шаг 3. Требуем $D < 0$:

$$-72b + 360 < 0 \Rightarrow 72b > 360 \Rightarrow b > \frac{360}{72} = 5$$

Ответ:

$$\boxed{(5;\ +\infty)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{(1{,}5;\ +\infty)}$
б) $\boxed{(8;\ +\infty)}$
в) $\boxed{\left(-\infty;\ -\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\frac{4}{\sqrt{3}};\ +\infty\right)}$
г) $\boxed{{\displaystyle (5;+\mathrm{\infty })}}$