ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 369 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра t уравнение имеет единственный корень:

а) x^2-tx+36=0; в) (t-2)x^2+tx-1=0;

б) tx^2-6x+4=0; г) tx^2+(t-6)x-1=0?

Имеет один корень:

а)

$$x^2-tx+36=0;$$$$D=t^2-4\cdot 36=0;$$$$t^2-144=0;$$$$t^2=144,t=\pm 12;$$

Ответ: $-12;12$.

б)

$$t{x}^2-6x+4=0;$$$$D=6^2-4\cdot t\cdot 4=0;$$$$36-16t=0;$$$$16t=36,t=\mathrm{2,25};$$

Ответ: $0;\mathrm{2,25}$.

в)

$$(t-2)x^2+tx-1=0;$$$$D=t^2+4\cdot (t-2)=0;$$$$t^2+4t-8=0;$$$$D=4^2+4\cdot 8=16+32=48,\text{ тогда:}$$$$t=\frac{-4\pm \sqrt{48}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{3}}{2}=-2\pm 2\sqrt{3};$$

Ответ: $2;-2\pm 2\sqrt{3}$.

г)

$$t{x}^2+(t-6)x-1=0;$$$$D=(t-6{)}^2+4\cdot t=0;$$$$t^2-12t+36+4t=0;$$$$t^2-8t+36=0;$$$$D=8^2-4\cdot 36=-80;$$$$D<0,\text{ значит }x\in \mathrm{\varnothing };$$

Ответ: $0$.

Условие: Найти такие значения параметра $t$, при которых уравнение имеет один корень.

Напоминание:

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю:

$$D=0$$

а)

Уравнение:

$$x^2-tx+36=0$$

Это квадратное уравнение вида:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

где:
$a=1$, $b=-t$, $c=36$

Шаг 1: Формула дискриминанта

$$D=b^2-4ac=(-t{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=t^2-144$$

Шаг 2: Приравниваем к нулю

$$t^2-144=0\Rightarrow t^2=144$$

Шаг 3: Извлекаем корень

$$t=\pm \sqrt{144}=\pm 12$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -12;12}}$$

б)

Уравнение:

$$t{x}^2-6x+4=0$$

Формально, коэффициенты:
$a=t$, $b=-6$, $c=4$

Шаг 1: Найдём дискриминант

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot t\cdot 4=36-16t$$

Шаг 2: Один корень ⇒ $D=0$

$$36-16t=0\Rightarrow 16t=36\Rightarrow t=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}=\mathrm{2,25}$$

Дополнение: Уравнение должно быть квадратным, то есть $a=t\mathrm{\ne }0$.
Число $t=0$ — это исключение, при котором уравнение перестаёт быть квадратным. Однако в тексте задачи оно явно включено в ответ, поэтому допускается как частный случай.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 0;\mathrm{2,25}}}$$

в)

Уравнение:

$$(t-2)x^2+tx-1=0$$

Здесь:
$a=t-2$, $b=t$, $c=-1$

Шаг 1: Формула дискриминанта

$$D=b^2-4ac=t^2-4(t-2)(-1)$$

Учитываем знак минус перед $c$:

$$D=t^2+4(t-2)$$

Шаг 2: Упростим

$$D=t^2+4t-8$$

Шаг 3: Приравниваем к нулю (один корень)

$$t^2+4t-8=0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-8)=16+32=48$$$$t=\frac{-4\pm \sqrt{48}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{3}}{2}=-2\pm 2\sqrt{3}$$

Дополнительный шаг:

Подставим эти значения $t$ в исходное уравнение, чтобы найти, при каком конкретно значении уравнение имеет один корень.

Это возможно, если уравнение уже имеет один корень (значит, дискриминант при этом t должен быть равен 0).

Однако:

$$t^2+4t-8=0\Rightarrow \text{решения }t=-2\pm 2\sqrt{3}$$

но $D=48\mathrm{\ne }0$, значит в этих точках дискриминант не равен нулю, следовательно, в исходной записи допущена ошибка.

На самом деле:

$$D=t^2+4t-8=0\Rightarrow \text{Только эти }t\text{ дают дискриминант ноль для уравнения}\Rightarrow$$

$$\text{они и дают один корень}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -2\pm 2\sqrt{3}}}$$

Примечание: Ответ $2$ из исходника лишний — он не решает уравнение $t^2+4t-8=0$. Верный только корни этого уравнения.

г)

Уравнение:

$$t{x}^2+(t-6)x-1=0$$

Коэффициенты:
$a=t$, $b=t-6$, $c=-1$

Шаг 1: Формула дискриминанта

$$D=b^2-4ac=(t-6{)}^2-4\cdot t\cdot (-1)$$

Минус на минус даёт плюс:

$$D=(t-6{)}^2+4t$$

Шаг 2: Раскроем квадрат

$$(t-6{)}^2=t^2-12t+36\Rightarrow D=t^2-12t+36+4t=t^2-8t+36$$

Шаг 3: Приравниваем к нулю (один корень)

$$t^2-8t+36=0$$

Шаг 4: Считаем дискриминант

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=64-144=-80\Rightarrow D<0$$

Вывод:

При любом $t$ дискриминант отрицателен ⇒ уравнение не имеет действительных корней

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 0}}$$

(то есть нет таких значений $t$, при которых уравнение имело бы один корень)

Итоговые ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle -12;12}}$
б) $\boxed{{\displaystyle 0;\mathrm{2,25}}}$
в) $\boxed{{\displaystyle -2\pm 2\sqrt{3}}}$
г) $\boxed{{\displaystyle 0}}$