ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 368 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра a уравнение имеет два корня:

а) 4x^2-2x+a=0; в) 2x^2+(a-4)x-2a=0;

б) ax^2+8x+4=0; г) 3x^2+(2a+3)x+a+2=0?

Имеет два корня:

а) \( 4x^2 — 2x + a = 0 \);

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 4 \cdot a > 0;
\]

\[
4 — 16a > 0;
\]

\[
16a < 4, \, a < \frac{1}{4};
\]

Ответ: \( (-\infty; 0.25) \).

б) \( ax^2 + 8x + 4 = 0 \);

\[
D = 8^2 — 4 \cdot a \cdot 4 > 0;
\]

\[
64 — 16a > 0;
\]

\[
16a < 64, \, a < 4;
\]

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (0; 4) \).

в) \( 2x^2 + (a — 4)x — 2a = 0 \);

\[
D = (a — 4)^2 + 4 \cdot 2 \cdot a > 0;
\]

\[
a^2 — 8a + 16 + 16a > 0;
\]

\[
a^2 + 8a + 16 > 0;
\]

\[
(a + 4)^2 > 0;
\]

\[
a + 4 \neq 0, \, a \neq -4;
\]

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty) \).

г) \( 3x^2 + (2a + 3)x + a + 2 = 0 \);

\[
D = (2a + 3)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (a + 2) > 0;
\]

\[
4a^2 + 12a + 9 — 12a — 24 > 0;
\]

\[
4a^2 — 15 > 0;
\]

\[
(2a + \sqrt{15})(2a — \sqrt{15}) > 0;
\]

\[
a < -\frac{\sqrt{15}}{2}, \quad a > \frac{\sqrt{15}}{2};
\]

Ответ: \( \left( -\infty; -\frac{\sqrt{15}}{2} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{15}}{2}; +\infty \right) \).

а) \( 4x^2 — 2x + a = 0 \)

1. Дискриминант для уравнения \( 4x^2 — 2x + a = 0 \):

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 4 \cdot a \)

2. Подставляем значения и упрощаем:

\( D = 4 — 16a \)

3. Для того чтобы у уравнения было два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

\( 4 — 16a > 0 \)

4. Решаем неравенство для \( a \):

\( 16a < 4 \), \( a < \frac{1}{4} \)

Ответ: \( (-\infty; 0.25) \)

б) \( ax^2 + 8x + 4 = 0 \)

1. Дискриминант для уравнения \( ax^2 + 8x + 4 = 0 \):

\( D = 8^2 — 4 \cdot a \cdot 4 \)

2. Подставляем значения и упрощаем:

\( D = 64 — 16a \)

3. Для того чтобы у уравнения было два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

\( 64 — 16a > 0 \)

4. Решаем неравенство для \( a \):

\( 16a < 64 \), \( a < 4 \)

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (0; 4) \).

в) \( 2x^2 + (a — 4)x — 2a = 0 \)

1. Дискриминант для уравнения \( 2x^2 + (a — 4)x — 2a = 0 \):

\( D = (a — 4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2a) \)

2. Упростим выражение для дискриминанта:

\( D = (a — 4)^2 + 16a \)

3. Раскроем квадрат и упростим:

\( D = a^2 — 8a + 16 + 16a \)

\( D = a^2 + 8a + 16 \)

4. Для того чтобы у уравнения было два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

\( a^2 + 8a + 16 > 0 \)

5. Это выражение можно представить как полный квадрат:

\( (a + 4)^2 > 0 \)

6. Так как квадрат любого числа всегда положителен, исключаем \( a = -4 \):

\( a + 4 \neq 0, \quad a \neq -4 \)

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty) \)

г) \( 3x^2 + (2a + 3)x + a + 2 = 0 \)

1. Дискриминант для уравнения \( 3x^2 + (2a + 3)x + a + 2 = 0 \):

\( D = (2a + 3)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (a + 2) \)

2. Раскроем скобки и упростим:

\( D = 4a^2 + 12a + 9 — 12a — 24 \)

\( D = 4a^2 — 15 \)

3. Для того чтобы у уравнения было два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

\( 4a^2 — 15 > 0 \)

4. Решаем неравенство для \( a \):

\( a^2 > \frac{15}{4} \)

5. Из этого получаем два интервала:

\( a < -\frac{\sqrt{15}}{2} \) или \( a > \frac{\sqrt{15}}{2} \)

Ответ: \( \left( -\infty; -\frac{\sqrt{15}}{2} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{15}}{2}; +\infty \right) \)