ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 366 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра p уравнение (3x+p+2)^2-(3x-p+1)^2=12x+4 имеет:

а) отрицательный корень;

б) корень, принадлежащий промежутку (—0,5; 0,5)?

Дано уравнение:

\[
(3x + p + 2)^2 — (3x — p + 1)^2 = 12x + 4;
\]

\[
12px + 6p + 6x + 3 = 12x + 4;
\]

\[
6x(2p — 1) = 1 — 6p, \quad x = \frac{1 — 6p}{6(2p — 1)};
\]

а) \( x < 0 \);

\( 1 — 6p < 0 \);

\( 2p — 1 < 0 \);

\( 6p — 1 > 0 \);

\( p < \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \left( -\infty; \frac{1}{2} \right) \).

б) \( -0.5 < x < 0.5 \);

\[
— \frac{1}{2} < \frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} < \frac{1}{2};
\]

Первое неравенство:

\[
\frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} > -\frac{1}{2};
\]

\[
2 — 12p + 12p — 6 > 0;
\]

\[
2p — 1 < 0, \quad p < \frac{1}{2};
\]

Второе неравенство:

\[
\frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} \leq \frac{1}{2};
\]

\[
12p — 6 — 2 + 12p > 0;
\]

\[
24p — 8 > 0;
\]

\[
2p — 1 > 0;
\]

\[
p > \frac{1}{3};
\]

Ответ: \( \left( -\infty; \frac{1}{3} \right) \).

Дано уравнение:

\[
(3x + p + 2)^2 — (3x — p + 1)^2 = 12x + 4;
\]

1. Преобразуем уравнение, используя формулу разности квадратов: \( (a^2 — b^2) = (a — b)(a + b) \), где:

1-й квадрат: \( a = 3x + p + 2 \)

2-й квадрат: \( b = 3x — p + 1 \)

Получаем:

\[
\left( (3x + p + 2) — (3x — p + 1) \right) \cdot \left( (3x + p + 2) + (3x — p + 1) \right) = 12x + 4;
\]

Упростим каждую из скобок:

Первая скобка: \( (3x + p + 2) — (3x — p + 1) = 2p + 1 \)

Вторая скобка: \( (3x + p + 2) + (3x — p + 1) = 6x + p + 3 \)

Таким образом, уравнение примет вид:

\[
(2p + 1)(6x + p + 3) = 12x + 4
\]

2. Раскрываем скобки в левой части:

\[
(2p + 1)(6x + p + 3) = (2p + 1)(6x) +\]

\[(2p + 1)(p + 3) = 12px + 6x + 6p + 3
\]

Теперь упростим уравнение:

\[
12px + 6p + 6x + 3 = 12x + 4
\]

3. Переносим все с \( x \) на одну сторону:

\[
12px + 6p + 6x + 3 — 12x — 4 = 0
\]

Упрощаем:

\[
12px + 6p — 6x — 1 = 0
\]

4. Группируем по \( x \):

\[
x(12p — 6) = 1 — 6p
\]

5. Разделим обе стороны на \( 6(2p — 1) \) (при \( 2p — 1 \neq 0 \)):

\[
x = \frac{1 — 6p}{6(2p — 1)}
\]

Ответ на первую часть:

а) \( x < 0 \)

Для того чтобы \( x < 0 \), нам нужно, чтобы числитель был отрицательным, а знаменатель положительным:

Числитель: \( 1 — 6p < 0 \), отсюда \( p > \frac{1}{6} \).

Знаменатель: \( 6(2p — 1) > 0 \), отсюда \( p > \frac{1}{2} \).

Таким образом, ответ: \( \left( -\infty; \frac{1}{2} \right) \).

Ответ на вторую часть:

б) \( -1 < x < 4 \)

Для этого подставим \( x = \frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} \) в неравенства \( -1 < x < 4 \) и решим:

Первое неравенство:

\[
\frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} > -\frac{1}{2}
\]

Умножим обе стороны на \( 6(2p — 1) \) (при \( 2p — 1 > 0 \)):

\[
1 — 6p > -3p + 3
\]

Упростим:

\[
2p < 3, \quad p < \frac{3}{2}
\]

Второе неравенство:

\[
\frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} \leq \frac{1}{2}
\]

Умножим обе стороны на \( 6(2p — 1) \):

\[
1 — 6p \leq 3p — 3
\]

Упростим:

\[
-9p \leq -4, \quad p \geq \frac{4}{9}
\]

Ответ: \( \left( \frac{4}{9}; \frac{3}{2} \right) \).

Ответ на третью часть:

в) \( -2 \leq x \leq 6 \)

Для этого подставим \( x = \frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} \) в неравенства \( -2 \leq x \leq 6 \):

Первое неравенство:

\[
-2 \leq \frac{1 — 6p}{6(2p — 1)} \leq 6
\]

Умножим обе части на \( 6(2p — 1) \):

\[
-12(2p — 1) \leq 1 — 6p \leq 36(2p — 1)
\]

Упрощаем:

\[
-24p + 12 \leq 1 — 6p \leq 72p — 36
\]

Решение для этих неравенств даёт:

Ответ: \( \left[ -2; \frac{4}{3} \right] \).