ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 366 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра p уравнение $(3x+p+2{)}^2-(3x-p+1{)}^2=12x+4$ имеет:

а) отрицательный корень;

б) корень, принадлежащий промежутку (—0,5; 0,5)?

Дано уравнение:
$(3x+p+2{)}^2-(3x-p+1{)}^2=12x+4;$
$12px+6p+6x+3=12x+4;$
$6x(2p-1)=1-6p,x=\frac{1-6p}{6(2p-1)};$

а) $x<0;$

$$\frac{1-6p}{2p-1}<0;$$

$$$$$$\frac{6p-1}{2p-1}>0;$$

$$$$$$p<\frac{1}{6},p>\frac{1}{2};$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{6})\cup (\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

б) $-\mathrm{0,5}<x<\mathrm{0,5};$

$$-\frac{1}{2}<\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac{1}{2};$$

Первое неравенство:

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}>-\frac{1}{2};$$

$$$$$$\frac{2-12p+12p-6}{2p-1}>0;$$

$$$$$$\frac{-4}{2p-1}>0;$$

$$$$$$2p-1<0,p<\frac{1}{2};$$

Второе неравенство:

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac{1}{2};$$

$$$$$$\frac{12p-6-2+12p}{2p-1}>0;$$

$$$$$$\frac{24p-8}{2p-1}>0;$$

$$$$$$p<\frac{1}{3},p>\frac{1}{2};$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

Дано уравнение:

$$(3x+p+2{)}^2-(3x-p+1{)}^2=12x+4.$$

Шаг 1. Применим формулу разности квадратов

Напомним:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}$$

Здесь:

$$a=(3x+p+2),b=(3x-p+1)\mathrm{.}$$

Тогда:

$$(3x+p+2{)}^2-(3x-p+1{)}^2=[(3x+p+2)-(3x-p+1)]\cdot$$

$$·[(3x+p+2)+(3x-p+1)]\mathrm{.}$$

Шаг 2. Упростим каждую скобку

• Первая скобка:

$$(3x+p+2)-(3x-p+1)=3x+p+2-3x+p-1=2p+1.$$

• Вторая скобка:

$$(3x+p+2)+(3x-p+1)=3x+p+2+3x-p+1=6x+3.$$

Шаг 3. Перепишем уравнение

$$(2p+1)(6x+3)=12x+4.$$

Раскроем скобки:

$$12px+6p+6x+3=12x+4.$$

Шаг 4. Приведём подобные слагаемые

Переносим всё, что связано с $x$, влево:

$$12px+6x-12x+6p+3-4=0,$$$$12px+(6x-12x)+(6p-1)=0,$$$$12px-6x+6p-1=0.$$

Вынесем $6x$:

$$6x(2p-1)+6p-1=0.$$

Шаг 5. Выразим $x$

$$6x(2p-1)=1-6p,$$$$x=\frac{1-6p}{6(2p-1)}\mathrm{.}$$

а) Условие: $x<0$

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}<0.$$

Так как множитель 6 положительный, его можно убрать:

$$\frac{1-6p}{2p-1}<0.$$

Шаг 1. Метод интервалов

Чтобы дробь была отрицательной, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки.

1. $1-6p>0\Rightarrow p<\frac{1}{6}$ и $2p-1<0\Rightarrow p<\frac{1}{2}$.
   Совместное условие: $p<\frac{1}{6}$.
2. $1-6p<0\Rightarrow p>\frac{1}{6}$ и $2p-1>0\Rightarrow p>\frac{1}{2}$.
   Совместное условие: $p>\frac{1}{2}$.

Ответ к а)

$$p\in (-\mathrm{\infty };\frac{1}{6})\cup (\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

б) Условие: $-0,5<x<0,5$

$$-\frac{1}{2}<\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Первое неравенство

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}>-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}+\frac{1}{2}>0.$$

Запишем с общим знаменателем $6(2p-1)$:

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}+\frac{3(2p-1)}{6(2p-1)}>0,$$$$\frac{1-6p+6p-3}{6(2p-1)}>0,$$$$\frac{-2}{6(2p-1)}>0,$$$$\frac{-4}{2p-1}>0.$$

Шаг 2. Решим

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным:

$$2p-1<0\Rightarrow p<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Второе неравенство

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Перенесём:

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}-\frac{1}{2}<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}-\frac{3(2p-1)}{6(2p-1)}<0,$$$$\frac{1-6p-6p+3}{6(2p-1)}<0,$$$$\frac{4-12p}{6(2p-1)}<0.$$

Сократим на 2:

$$\frac{2-6p}{3(2p-1)}<0.$$

Домножим числитель и знаменатель на 2 (чтобы убрать 3):

$$\frac{24p-8}{2p-1}>0.$$

Шаг 4. Решим методом интервалов

Знак дроби положителен, если числитель и знаменатель одного знака.

• $24p-8>0\Rightarrow p>\frac{1}{3},2p-1>0\Rightarrow p>\frac{1}{2}\mathrm{.}$
  Совместное: $p>\frac{1}{2}$.
• $24p-8<0\Rightarrow p<\frac{1}{3},2p-1<0\Rightarrow p<\frac{1}{2}\mathrm{.}$
  Совместное: $p<\frac{1}{3}$.

Шаг 5. Объединим результаты

Из первого неравенства: $p<\frac{1}{2}$.
Из второго: $p<\frac{1}{3}$ или $p>\frac{1}{2}$.

Объединяем:

$$p\in (-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$