ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 359 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y=x^2+2 и y=6|x-1|.

359. Все точки пересечения:

\[
y = x^2 + 2, \quad y = 6|x — 1|
\]

1) Если \(x \geq 1\), тогда:

\[
x^2 + 2 = 6(x — 1);
\]

\[
x^2 + 2 = 6x — 6;
\]

\[
x^2 — 6x + 8 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\]

\[
y_1 = 4 + 2 = 6 \quad \text{и} \quad y_2 = 16 + 2 = 18;
\]

2) Если \(x \leq 1\), тогда:

\[
x^2 + 2 = 6(1 — x);
\]

\[
x^2 + 2 = 6 — 6x;
\]

\[
x^2 + 6x — 4 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52, \text{ тогда:}
\]

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13};
\]

\[
y = 6| -3 \pm \sqrt{13} — 1| = 24 \pm 6\sqrt{13};
\]

Ответ: \( (2; 6); (4; 18); (-3 \pm \sqrt{13}; 24 \pm 6\sqrt{13}) \).

Решить уравнение для пересечения функций:

\[
y = x^2 + 2, \quad y = 6|x — 1|
\]

1) Если \( x \geq 1 \), тогда:

Подставляем выражение \( y = 6(x — 1) \) (так как для \( x \geq 1 \) \( |x — 1| = x — 1 \)):

\( x^2 + 2 = 6(x — 1) \)

Раскрываем скобки:

\( x^2 + 2 = 6x — 6 \)

Переносим все на одну сторону:

\( x^2 — 6x + 8 = 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)

Теперь находим значения \( y \):

\( y_1 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \),

\( y_2 = 4^2 + 2 = 16 + 2 = 18 \)

Ответ для случая \( x \geq 1 \): \( (2; 6), (4; 18) \).

2) Если \( x \leq 1 \), тогда:

Подставляем выражение \( y = 6(1 — x) \) (так как для \( x \leq 1 \) \( |x — 1| = 1 — x \)):

\( x^2 + 2 = 6(1 — x) \)

Раскрываем скобки:

\( x^2 + 2 = 6 — 6x \)

Переносим все на одну сторону:

\( x^2 + 6x — 4 = 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52 \)

Корни уравнения:

\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13} \)

Теперь находим значения \( y \):

\( y = 6| -3 \pm \sqrt{13} — 1| = 6| -4 \pm \sqrt{13} | = 24 \pm 6\sqrt{13} \)

Ответ для случая \( x \leq 1 \): \( (-3 \pm \sqrt{13}; 24 \pm 6\sqrt{13}) \).

Общий ответ: \( (2; 6), (4; 18), (-3 \pm \sqrt{13}; 24 \pm 6\sqrt{13}) \).