ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 356 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество значений х, удовлетворяющих совокупности:

а) [|x^2-3x| < |x|, x^2-11 < 0]; б) [|3x-5| < |x|, x^2-x < 2].

(a)

Решить систему неравенств:
\[
\begin{cases}
|x^2 — 3x| < |x| \\
x^2 — 11 < 0
\end{cases}
\]

1. Первое неравенство:

\[
|x^2 — 3x| < |x|
\]

\[
(x^2 — 3x)^2 < x^2
\]

\[
(x^2 — 4x)(x^2 — 2x) < 0
\]

\[
x^2(x — 4)(x — 2) < 0
\]

\[
2 < x < 4, \quad x \neq 0
\]

2. Второе неравенство:

\[
x^2 — 11 < 0
\]

\[
(x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11}) < 0
\]

\[
-\sqrt{11} < x < \sqrt{11}
\]

Ответ:

\[
(-\sqrt{11}; 4)
\]

(b)

Решить систему неравенств:
\[
\begin{cases}
|3x — 5| < |x| \\
x^2 — x < 2
\end{cases}
\]

1. Первое неравенство:

\[
|3x — 5| < |x|
\]

\[
(3x — 5)^2 < x^2
\]

\[
(4x — 5)(2x — 5) < 0
\]

\[
1,25 < x < 2,5
\]

2. Второе неравенство:

\[
x^2 — x < 2
\]

\[
x^2 — x — 2 < 0
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\]

\[
(x + 1)(x — 2) < 0
\]

\[
-1 < x < 2
\]

Ответ:

\[
(-1; 2,5)
\]

(a)

Решить систему неравенств:

\[
\begin{cases}
|x^2 — 3x| < |x| \\
x^2 — 11 < 0
\end{cases}
\]

1. Первое неравенство:

Рассматриваем неравенство \( |x^2 — 3x| < |x| \). Для этого возводим обе части в квадрат:

\( (x^2 — 3x)^2 < x^2 \)

Раскроем скобки:

\( (x^2 — 3x)(x^2 — 3x) < x^2 \)

Преобразуем:

\( x^4 — 6x^3 + 9x^2 < x^2 \)

Переносим все на одну сторону:

\( x^4 — 6x^3 + 8x^2 < 0 \)

Вынесем общий множитель \( x^2 \):

\( x^2(x^2 — 6x + 8) < 0 \)

Решаем квадратное неравенство \( x^2 — 6x + 8 < 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)

Корни уравнения \( x^2 — 6x + 8 = 0 \):

\( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)

Таким образом, разложение на множители будет таким:

\( x^2(x — 4)(x — 2) < 0 \)

Теперь определяем промежутки, на которых это выражение отрицательно:

Решение: \( 2 < x < 4 \), при условии, что \( x \neq 0 \) (так как \( x^2 \) не может быть отрицательным).

2. Второе неравенство:

Рассматриваем неравенство \( x^2 — 11 < 0 \):

Переносим 11 на правую сторону:

\( x^2 < 11 \)

Что эквивалентно:

\( -\sqrt{11} < x < \sqrt{11} \)

Ответ: Объединяя решения первого и второго неравенства, получаем \( (-\sqrt{11}; 4) \).

(b)

Решить систему неравенств:

\[
\begin{cases}
|3x — 5| < |x| \\
x^2 — x < 2
\end{cases}
\]

1. Первое неравенство:

Рассматриваем неравенство \( |3x — 5| < |x| \). Для этого возводим обе части в квадрат:

\( (3x — 5)^2 < x^2 \)

Раскрываем скобки:

\( 9x^2 — 30x + 25 < x^2 \)

Переносим все на одну сторону:

\( 9x^2 — 30x + 25 — x^2 < 0 \)

Упрощаем:

\( 8x^2 — 30x + 25 < 0 \)

Решаем это квадратное неравенство с помощью дискриминанта:

\( D = (-30)^2 — 4 \cdot 8 \cdot 25 = 900 — 800 = 100 \)

Корни уравнения \( 8x^2 — 30x + 25 = 0 \):

\( x_1 = \frac{30 — 10}{2 \cdot 8} = \frac{20}{16} = 1,25 \), \( x_2 = \frac{30 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{40}{16} = 2,5 \)

Таким образом, разложение на множители будет таким:

\( (4x — 5)(2x — 5) < 0 \)

Решение этого неравенства: \( 1,25 < x < 2,5 \).

2. Второе неравенство:

Рассматриваем неравенство \( x^2 — x < 2 \):

Переносим 2 на правую сторону:

\( x^2 — x — 2 < 0 \)

Решаем это квадратное неравенство с помощью дискриминанта:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Корни уравнения \( x^2 — x — 2 = 0 \):

\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

Разложение на множители:

\( (x + 2)(x — 1) < 0 \)

Решение этого неравенства: \( -2 < x < 1 \).

Ответ: Объединяя решения обоих неравенств, получаем \( (-1; 2,5) \).