ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 353 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a всякое решение двойного неравенства 3 < |x-2| < 4 является решением неравенства x+2a < 0?

Даны два неравенства:

\[
3 < |x — 2| < 4, \quad x + 2a < 0
\]

1. Первое неравенство:

\[
-4 < x — 2 < -3, \quad -2 < x < -1
\]

2. Второе неравенство:

\[
3 < x — 2 < 4, \quad 5 < x < 6
\]

3. Решения совпадают:

\[
x + 2a < 0, \quad x < -2a
\]

\[
-2a \geq 6, \quad a \leq 3
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -3)
\]

Даны два неравенства:

\( 3 < |x — 2| < 4, \quad x + 2a < 0 \)

1. Первое неравенство:

Неравенство \( 3 < |x — 2| < 4 \) можно решить, разделив его на два случая, так как абсолютное значение имеет два возможных значения.

Сначала: \( 3 < |x — 2| \), что означает:

\( x — 2 > 3 \) или \( x — 2 < -3 \).

Для первого случая \( x — 2 > 3 \):

Добавляем 2 ко всем частям неравенства:

\( x > 5 \).

Для второго случая \( x — 2 < -3 \):

Добавляем 2 ко всем частям неравенства:

\( x < -1 \).

Таким образом, для первого условия \( 3 < |x — 2| \) мы получаем два промежутка \( x > 5 \) или \( x < -1 \).

Теперь: \( |x — 2| < 4 \), что означает:

\( -4 < x — 2 < 4 \)

Добавляем 2 ко всем частям неравенства:

\( -4 + 2 < x — 2 + 2 < 4 + 2 \)

\( -2 < x < 6 \).

Ответ: Для первого неравенства у нас два возможных решения:

\( x < -1 \) или \( 5 < x < 6 \).

2. Второе неравенство:

Теперь рассмотрим второе неравенство \( x + 2a < 0 \). Это неравенство означает:

\( x < -2a \).

Теперь мы знаем, что \( x \) может быть в двух промежутках: \( x < -1 \) или \( 5 < x < 6 \). Рассмотрим оба случая отдельно:

1. Если \( x < -1 \), то \( x < -2a \) дает условие для \( a \), что \( -2a \geq 6 \), отсюда \( a \leq 3 \).

2. Если \( 5 < x < 6 \), это не даёт дополнительной информации, так как \( x + 2a < 0 \) для этих значений \( x \) невозможен.

Ответ: Таким образом, для удовлетворяющих неравенствам значений \( a \leq 3 \), решение будет:

\( (-\infty; -3) \).