ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 351 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) 7/|2x+3|?5x+6;

б) (x^2+3x-10)/|x+1| < 0.

Решить неравенство:

а) \(\frac{7}{|2x + 3|} \leq 5x + 6\)

1. Если \(x > -1,5\), тогда:

\[
\frac{7}{2x + 3} \leq 5x + 6
\]

\[
(2x + 3)(5x + 6) \geq 7
\]

\[
10x^2 + 12x + 15x + 18 \geq 7
\]

\[
10x^2 + 27x + 11 \geq 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 27^2 — 4 \cdot 10 \cdot 11 = 729 — 440 = 289
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-27 — 17}{2 \cdot 10} = -2,2, \quad x_2 = \frac{-27 + 17}{2 \cdot 10} = -0,5
\]

Разложение:

\[
(x + 2,2)(x + 0,5) \geq 0
\]

Условия:

\[
x \leq -2,2 \quad \text{или} \quad x \geq -0,5
\]

2. Если \(x < -1,5\), тогда:

\[
\frac{-7}{2x + 3} \leq 5x + 6
\]

\[
(2x + 3)(5x + 6) \leq -7
\]

\[
10x^2 + 12x + 15x + 18 \leq -7
\]

\[
10x^2 + 27x + 25 \leq 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 27^2 — 4 \cdot 10 \cdot 25 = -271
\]

Так как \(D < 0\), решений нет.

Ответ: \([-0,5; +\infty)\).

б) \(\frac{x^2 + 3x — 10}{|x + 1|} < 0\)

\[
x^2 + 3x — 10 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2
\]

Разложение:

\[
(x + 5)(x — 2) < 0, \quad x \neq -1
\]

Условия:

\[
-5 < x < 2, \quad x \neq -1
\]

Ответ: \((-5; -1) \cup (-1; 2)\).

а) \( \frac{7}{|2x + 3|} \leq 5x + 6 \)

1. Если \( x > -1,5 \), тогда:

Когда \( x > -1,5 \), то \( |2x + 3| = 2x + 3 \), так как \( 2x + 3 \) положительно при \( x > -1,5 \).

Исходное неравенство:

\( \frac{7}{2x + 3} \leq 5x + 6 \)

Умножаем обе части на \( 2x + 3 \), что возможно, так как при \( x > -1,5 \) выражение \( 2x + 3 > 0 \):

\( (2x + 3)(5x + 6) \geq 7 \)

Раскрываем скобки:

\( 10x^2 + 12x + 15x + 18 \geq 7 \)

Упрощаем:

\( 10x^2 + 27x + 18 \geq 7 \)

Переносим 7 влево:

\( 10x^2 + 27x + 11 \geq 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = 27^2 — 4 \cdot 10 \cdot 11 = 729 — 440 = 289 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-27 — \sqrt{289}}{2 \cdot 10} = \frac{-27 — 17}{20} = -2,2 \)

\( x_2 = \frac{-27 + \sqrt{289}}{2 \cdot 10} = \frac{-27 + 17}{20} = -0,5 \)

Разложим квадратное выражение:

\( (x + 2,2)(x + 0,5) \geq 0 \)

Определяем, на каких промежутках это произведение больше или равно нулю:

Решение: \( x \leq -2,2 \) или \( x \geq -0,5 \). Однако, так как \( x > -1,5 \), то нас интересует только промежуток \( x \geq -0,5 \).

2. Если \( x < -1,5 \), тогда:

Когда \( x < -1,5 \), то \( |2x + 3| = -(2x + 3) = -2x — 3 \), так как \( 2x + 3 \) отрицательно при \( x < -1,5 \).

Исходное неравенство:

\( \frac{-7}{2x + 3} \leq 5x + 6 \)

Умножаем обе части на \( 2x + 3 \), что возможно, так как при \( x < -1,5 \) выражение \( 2x + 3 < 0 \):

\( (2x + 3)(5x + 6) \leq -7 \)

Раскрываем скобки:

\( 10x^2 + 12x + 15x + 18 \leq -7 \)

Упрощаем:

\( 10x^2 + 27x + 18 \leq -7 \)

Переносим -7 влево:

\( 10x^2 + 27x + 25 \leq 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = 27^2 — 4 \cdot 10 \cdot 25 = 729 — 1000 = -271 \)

Так как дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), решений для этого неравенства нет.

Ответ: \( [-0,5; +\infty) \).

б) \( \frac{x^2 + 3x — 10}{|x + 1|} < 0 \)

Для того, чтобы неравенство \( \frac{x^2 + 3x — 10}{|x + 1|} < 0 \) выполнялось, числитель и знаменатель должны иметь противоположные знаки. Рассмотрим числитель \( x^2 + 3x — 10 \).

Решим неравенство \( x^2 + 3x — 10 < 0 \):

Находим дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = 2 \)

Разложим выражение:

\( (x + 5)(x — 2) < 0 \)

Условия для числителя: \( -5 < x < 2 \), но также важно, чтобы \( x \neq -1 \), так как знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, получаем следующие промежутки:

Ответ: \( (-5; -1) \cup (-1; 2) \).