ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 350 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) x^2+2|x-1|-6 < 0; в) 3x^2-5|x-2|+8 < 0;

б) x^2+|x-3|-9 < 0; г) 2x^2-7|x-1|+3 < 0.

а) \(x^2 + 2|x — 1| — 6 < 0\)

1. Если \(x \geq 1\), тогда:

\[
x^2 + 2(x — 1) — 6 < 0
\]

\[
x^2 + 2x — 8 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2
\]

Разложение:

\[
(x + 4)(x — 2) < 0
\]

Условия:

\[
-4 < x < 2
\]

2. Если \(x < 1\), тогда:

\[
x^2 — 2(x — 1) — 6 < 0
\]

\[
x^2 — 2x — 4 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20
\]

Корни:

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}
\]

Условия:

\[
1 — \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}
\]

Ответ: \((1 — \sqrt{5}; 2)\).

б) \(x^2 + |x — 3| — 9 < 0\)

1. Если \(x \geq 3\), тогда:

\[
x^2 + (x — 3) — 9 < 0
\]

\[
x^2 + x — 12 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3
\]

Разложение:

\[
(x + 4)(x — 3) < 0
\]

Условия:

\[
-4 < x < 3
\]

2. Если \(x < 3\), тогда:

\[
x^2 — (x — 3) — 9 < 0
\]

\[
x^2 — x — 6 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3
\]

Разложение:

\[
(x + 2)(x — 3) < 0
\]

Условия:

\[
-2 < x < 3
\]

Ответ: \((-2; 3)\).

в) \(3x^2 — 5|x — 2| + 8 < 0\)

1. Если \(x \geq 2\), тогда:

\[
3x^2 — 5(x — 2) + 8 < 0
\]

\[
3x^2 — 5x + 18 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 18 = -191
\]

Так как \(D < 0\), решений нет.

2. Если \(x < 2\), тогда:

\[
3x^2 + 5(x — 2) + 8 < 0
\]

\[
3x^2 + 5x — 2 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = -2, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}
\]

Разложение:

\[
(x + 2)(x — \frac{1}{3}) < 0
\]

Условия:

\[
-2 < x < \frac{1}{3}
\]

Ответ: \((-2; \frac{1}{3})\).

г) \(2x^2 — 7|x — 1| + 3 < 0\)

1. Если \(x \geq 1\), тогда:

\[
2x^2 — 7(x — 1) + 3 < 0
\]

\[
2x^2 — 7x + 10 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = -31
\]

Так как \(D < 0\), решений нет.

2. Если \(x < 1\), тогда:

\[
2x^2 + 7(x — 1) + 3 < 0
\]

\[
2x^2 + 7x — 4 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 2} = -4, \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = 0,5
\]

Разложение:

\[
(x + 4)(x — 0,5) < 0
\]

Условия:

\[
-4 < x < 0,5
\]

Ответ: \((-4; 0,5)\).

а) \(x^2 + 2|x — 1| — 6 < 0\)

1. Если \(x \geq 1\), тогда:

Мы знаем, что \(x \geq 1\), значит \(|x — 1| = x — 1\), так как для \(x \geq 1\) выражение \(x — 1\) всегда неотрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(x^2 + 2(x — 1) — 6 < 0\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + 2x — 2 — 6 < 0\)

Упростим:

\(x^2 + 2x — 8 < 0\)

Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого сначала находим дискриминант:

\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)

Корни уравнения \(x^2 + 2x — 8 = 0\) находим с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 — 6}{2} = -4\),

\(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)

Итак, у нас есть корни \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 2\). Разложим квадратное выражение:

\((x + 4)(x — 2) < 0\)

Теперь определим промежутки, на которых это выражение отрицательно. Для этого составим таблицу знаков:

Нам нужно, чтобы произведение \((x + 4)(x — 2)\) было отрицательным, что происходит, когда \(x\) лежит между корнями -4 и 2. Однако, поскольку мы рассматриваем случай \(x \geq 1\), нас интересует только промежуток \([1, 2)\), где неравенство выполняется.

Таким образом, для \(x \geq 1\) решение: \(1 \leq x < 2\).

2. Если \(x < 1\), тогда:

Когда \(x < 1\), то \(|x — 1| = -(x — 1) = 1 — x\), так как для \(x < 1\) выражение \(x — 1\) отрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(x^2 + 2(1 — x) — 6 < 0\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + 2 — 2x — 6 < 0\)

Упростим:

\(x^2 — 2x — 4 < 0\)

Решаем это квадратное неравенство. Сначала находим дискриминант:

\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20\)

Корни уравнения \(x^2 — 2x — 4 = 0\) находим с помощью формулы корней:

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}\)

Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 1 — \sqrt{5}\) и \(x_2 = 1 + \sqrt{5}\). Разложим квадратное выражение:

\((x — (1 — \sqrt{5}))(x — (1 + \sqrt{5})) < 0\)

Теперь определим промежутки, на которых это выражение отрицательно. Поскольку \(1 — \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}\), то решение в этом промежутке:

Для \(x < 1\) решение: \(1 — \sqrt{5} < x < 1\).

Ответ: \((1 — \sqrt{5}; 2)\).

б) \(x^2 + |x — 3| — 9 < 0\)

1. Если \(x \geq 3\), тогда:

Когда \(x \geq 3\), то \(|x — 3| = x — 3\), так как для \(x \geq 3\) выражение \(x — 3\) неотрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(x^2 + (x — 3) — 9 < 0\)

Упростим:

\(x^2 + x — 12 < 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)

Корни уравнения \(x^2 + x — 12 = 0\):

\(x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)

Разложим квадратное выражение:

\((x + 4)(x — 3) < 0\)

Теперь определим промежутки, на которых выражение отрицательно. Поскольку \(x \geq 3\), нас интересует только промежуток \(-4 < x < 3\), но для \(x \geq 3\) неравенство не выполняется.

2. Если \(x < 3\), тогда:

Когда \(x < 3\), то \(|x — 3| = 3 — x\), так как для \(x < 3\) выражение \(x — 3\) отрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(x^2 — (x — 3) — 9 < 0\)

Упростим:

\(x^2 — x — 6 < 0\)

Находим дискриминант:

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)

Корни уравнения \(x^2 — x — 6 = 0\):

\(x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2} = 3\)

Разложим квадратное выражение:

\((x + 2)(x — 3) < 0\)

Теперь определим промежутки, на которых это выражение отрицательно:

Для \(x < 3\) решение: \(-2 < x < 3\).

Ответ: \((-2; 3)\).

в) \(3x^2 — 5|x — 2| + 8 < 0\)

1. Если \(x \geq 2\), тогда:

Когда \(x \geq 2\), то \(|x — 2| = x — 2\), так как для \(x \geq 2\) выражение \(x — 2\) неотрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(3x^2 — 5(x — 2) + 8 < 0\)

Упростим:

\(3x^2 — 5x + 18 < 0\)

Находим дискриминант:

\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 18 = -191\)

Так как дискриминант \(D < 0\), решений нет.

2. Если \(x < 2\), тогда:

Когда \(x < 2\), то \(|x — 2| = 2 — x\), так как для \(x < 2\) выражение \(x — 2\) отрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(3x^2 + 5(x — 2) + 8 < 0\)

Упростим:

\(3x^2 + 5x — 2 < 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49\)

Корни уравнения \(3x^2 + 5x — 2 = 0\):

\(x_1 = \frac{-5 — 7}{6} = -2, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}\)

Разложим квадратное выражение:

\((x + 2)(x — \frac{1}{3}) < 0\)

Теперь определим промежутки, на которых это выражение отрицательно:

Для \(x < 2\) решение: \(-2 < x < \frac{1}{3}\).

Ответ: \((-2; \frac{1}{3})\).

г) \(2x^2 — 7|x — 1| + 3 < 0\)

1. Если \(x \geq 1\), тогда:

Когда \(x \geq 1\), то \(|x — 1| = x — 1\), так как для \(x \geq 1\) выражение \(x — 1\) неотрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(2x^2 — 7(x — 1) + 3 < 0\)

Упростим:

\(2x^2 — 7x + 10 < 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = -31\)

Так как дискриминант \(D < 0\), решений нет.

2. Если \(x < 1\), тогда:

Когда \(x < 1\), то \(|x — 1| = 1 — x\), так как для \(x < 1\) выражение \(x — 1\) отрицательно.

Подставим это в исходное неравенство:

\(2x^2 + 7(x — 1) + 3 < 0\)

Упростим:

\(2x^2 + 7x — 4 < 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81\)

Корни уравнения \(2x^2 + 7x — 4 = 0\):

\(x_1 = \frac{-7 — 9}{4} = -4, \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = 0,5\)

Разложим квадратное выражение:

\((x + 4)(x — 0,5) < 0\)

Теперь определим промежутки, на которых это выражение отрицательно:

Для \(x < 1\) решение: \(-4 < x < 0,5\).

Ответ: \((-4; 0,5)\).