ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 349 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) x^2+|x|-6 < 0; в) x^2+3|x| < 18;

б) x^2-2|x|-8 > 0; г) 2|x|+15-x^2 > 0.

Решить неравенство:

а) \(x^2 + |x| — 6 < 0\)

Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25
\]

Корни:

\[
|x|_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad |x|_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\]

Разложение:

\[
(|x| + 3)(|x| — 2) < 0
\]

Условия:

\[
|x| — 2 < 0, \quad |x| < 2
\]

\[
-2 < x < 2
\]

Ответ: \((-2; 2)\).

б) \(x^2 — 2|x| — 8 > 0\)

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36
\]

Корни:

\[
|x|_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad |x|_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4
\]

Разложение:

\[
(|x| + 2)(|x| — 4) > 0
\]

Условия:
\[
|x| — 4 > 0, \quad |x| > 4
\]

\[
x < -4, \quad x > 4
\]

Ответ: \((-\infty; -4) \cup (4; +\infty)\).

в) \(x^2 + 3|x| < 18\)

Перепишем:

\[
x^2 + 3|x| — 18 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81
\]

Корни:

\[
|x|_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -6, \quad |x|_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 3
\]

Разложение:

\[
(|x| + 6)(|x| — 3) < 0
\]

Условия:

\[
|x| — 3 < 0, \quad |x| < 3
\]

\[
-3 < x < 3
\]

Ответ: \((-3; 3)\).

г) \(2|x| + 15 — x^2 > 0\)

Перепишем:

\[
x^2 — 2|x| — 15 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64
\]

Корни:

\[
|x|_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -3, \quad |x|_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 5
\]

Разложение:

\[
(|x| + 3)(|x| — 5) < 0
\]

Условия:

\[
|x| — 5 < 0, \quad |x| < 5
\]

\[
-5 < x < 5
\]

Ответ: \((-5; 5)\).

а) \(x^2 + |x| — 6 < 0\)

Шаг 1: Определяем возможные значения для \( x \) в зависимости от знака \( |x| \):

Данное неравенство зависит от абсолютного значения \( |x| \), поэтому рассмотрим два случая:

1) Если \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \).

Уравнение примет вид:

\[
x^2 + x — 6 < 0
\]

Решим это неравенство:

\[
x^2 + x — 6 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 =\]

\[\frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\]

Теперь разложим уравнение:

\[
(x + 3)(x — 2) < 0
\]

Решаем это неравенство:

Невозможно, чтобы выражение было меньше нуля в интервале \( x < 0 \), так как \( x \geq 0 \) в этом случае. Следовательно, рассмотрим только интервал от \( 0 \) до \( 2 \). Тогда:

\[
0 \leq x < 2
\]

2) Если \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \).

Уравнение примет вид:

\[
x^2 — x — 6 < 0
\]

Решим это неравенство:

\[
x^2 — x — 6 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2} = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 =\]

\[\frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3
\]

Теперь разложим уравнение:

\[
(x + 2)(x — 3) < 0
\]

Решаем это неравенство:

Здесь \( x \) должно быть в интервале \( -2 < x < 3 \). Поскольку \( x \) отрицателен, решаем только интервал от \( -2 \) до \( 0 \). Таким образом:

\[
-2 < x < 0
\]

Ответ: \( (-2; 2) \).

б) \(x^2 — 2|x| — 8 > 0\)

Шаг 1: Анализируем абсолютное значение \( |x| \):

Рассматриваем два случая:

1) Если \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \).

Уравнение примет вид:

\[
x^2 — 2x — 8 > 0
\]

Решим это неравенство:

\[
x^2 — 2x — 8 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 =\]

\[ \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4
\]

Теперь разложим уравнение:

\[
(x + 2)(x — 4) > 0
\]

Решаем это неравенство:

Решение — \( x < -2 \) или \( x > 4 \).

2) Если \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \).

Уравнение примет вид:

\[
x^2 + 2x — 8 > 0
\]

Решим это неравенство:

\[
x^2 + 2x — 8 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 =\]

\[\frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2
\]

Теперь разложим уравнение:

\[
(x + 4)(x — 2) > 0
\]

Решаем это неравенство:

Решение — \( x < -4 \) или \( x > 2 \), но для \( x < 0 \) остается только \( x < -4 \).

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (4; +\infty) \).

в) \(x^2 + 3|x| < 18\)

Перепишем неравенство:

\[
x^2 + 3|x| — 18 < 0
\]

Решим это неравенство. Рассматриваем два случая:

1) Если \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \).

Уравнение примет вид:

\[
x^2 + 3x — 18 < 0
\]

Решим это неравенство:

\[
x^2 + 3x — 18 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 — 9}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = 3
\]

Теперь разложим уравнение:

\[
(x + 6)(x — 3) < 0
\]

Решаем это неравенство:

Решение — \( -6 < x < 3 \).

Ответ: \( (-3; 3) \).

г) \(2|x| + 15 — x^2 > 0\)

Перепишем неравенство:

\[
x^2 — 2|x| — 15 < 0
\]

Решим это неравенство. Рассматриваем два случая:

1) Если \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \).

Уравнение примет вид:

\[
x^2 — 2x — 15 < 0
\]

Решим это неравенство:

\[
x^2 — 2x — 15 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{2} = \frac{2 — 8}{2} = -3, \quad x_2 =\]

\[\frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5
\]

Теперь разложим уравнение:

\[
(x + 3)(x — 5) < 0
\]

Решаем это неравенство:

Решение — \( -3 < x < 5 \).

Ответ: \( (-5; 5) \).