ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 348 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) |x+1|+|x-2| < 5; в) |x+3|-|x-4|?1;

б) |x-3|+|x-4| < 11; г) |x+6|+|x-5|?3.

Решить неравенство:

а) \(|x + 1| + |x — 2| < 5\)

1. Если \(x \leq -1\):

\[
-x — 1 + 2 — x < 5
\]

\[
2x > -4, \quad x > -2
\]

2. Если \(-1 < x \leq 2\):

\[
x + 1 + 2 — x < 5
\]

\[
0x < 2, \quad x \in \mathbb{R}
\]

3. Если \(x > 2\):

\[
x + 1 + x — 2 < 5
\]

\[
2x < 6, \quad x < 3
\]

Ответ: \((-2; 3)\).

б) \(|x — 3| + |x — 4| < 11\)

1. Если \(x \leq 3\):

\[
3 — x + 4 — x < 11
\]

\[
2x > -4, \quad x > -2
\]

2. Если \(3 < x \leq 4\):

\[
x — 3 + 4 — x < 11
\]

\[
0x < 10, \quad x \in \mathbb{R}
\]

3. Если \(x > 4\):

\[
x — 3 + x — 4 < 11
\]

\[
2x < 18, \quad x < 9
\]

Ответ: \((-2; 9)\).

в) \(|x — 3| + |x — 4| \leq 1\)

1. Если \(x \leq -3\):

\[
-x — 3 + x — 4 \leq 1
\]

\[
0x \leq 8, \quad x \in \mathbb{R}
\]

2. Если \(-3 < x \leq 4\):

\[
x + 3 + x — 4 \leq 1
\]

\[
2x \leq 2, \quad x \leq 1
\]

3. Если \(x > 4\):

\[
x + 3 — x + 4 \leq 1
\]

Ответ: \((-\infty; 1]\).

г) \(|x + 6| + |x — 5| \geq 3\)

1. Если \(x \leq -6\):

\[
-x — 6 + 5 — x \geq 3
\]

\[
2x \leq -4, \quad x \leq -2
\]

2. Если \(-6 < x \leq 5\):

\[
x + 6 + 5 — x \geq 3
\]

\[
0x \geq -8, \quad x \in \mathbb{R}
\]

3. Если \(x > 5\):

\[
x + 6 + x — 5 \geq 3
\]

\[
2x \geq 2, \quad x \geq 1
\]

Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

Задача (а):

Решить неравенство:

\( |x + 1| + |x — 2| < 5 \)

Распишем это неравенство на три случая:

1. Если \(x \leq -1\):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут отрицательными:

\( -x — 1 + 2 — x < 5 \)

Упрощаем:

\( 2x > -4 \), что даёт \( x > -2 \)

2. Если \( -1 < x \leq 2 \):

Тогда \( x + 1 \) положительное, а \( x — 2 \) отрицательное:

\( x + 1 + 2 — x < 5 \)

Упрощаем:

\( 0x < 2 \), что всегда верно, то есть \( x \in \mathbb{R} \)

3. Если \( x > 2 \):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут положительными:

\( x + 1 + x — 2 < 5 \)

Упрощаем:

\( 2x < 6 \), что даёт \( x < 3 \)

Ответ:

\( (-2; 3) \)

Задача (б):

Решить неравенство:

\( |x — 3| + |x — 4| < 11 \)

Распишем это неравенство на три случая:

1. Если \( x \leq 3 \):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут отрицательными:

\( 3 — x + 4 — x < 11 \)

Упрощаем:

\( 2x > -4 \), что даёт \( x > -2 \)

2. Если \( 3 < x \leq 4 \):

Тогда \( x — 3 \) положительное, а \( x — 4 \) отрицательное:

\( x — 3 + 4 — x < 11 \)

Упрощаем:

\( 0x < 10 \), что всегда верно, то есть \( x \in \mathbb{R} \)

3. Если \( x > 4 \):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут положительными:

\( x — 3 + x — 4 < 11 \)

Упрощаем:

\( 2x < 18 \), что даёт \( x < 9 \)

Ответ:

\( (-2; 9) \)

Задача (в):

Решить неравенство:

\( |x — 3| + |x — 4| \leq 1 \)

Распишем это неравенство на три случая:

1. Если \( x \leq -3 \):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут отрицательными:

\( -x — 3 + x — 4 \leq 1 \)

Упрощаем:

\( 0x \leq 8 \), что всегда верно, то есть \( x \in \mathbb{R} \)

2. Если \( -3 < x \leq 4 \):

Тогда \( x + 3 \) положительное, а \( x — 4 \) отрицательное:

\( x + 3 + x — 4 \leq 1 \)

Упрощаем:

\( 2x \leq 2 \), что даёт \( x \leq 1 \)

3. Если \( x > 4 \):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут положительными:

\( x + 3 — x + 4 \leq 1 \)

Упрощаем:

\( 0x \leq -6 \), что невозможно, то есть решений нет.

Ответ:

\( (-\infty; 1] \)

Задача (г):

Решить неравенство:

\( |x + 6| + |x — 5| \geq 3 \)

Распишем это неравенство на три случая:

1. Если \( x \leq -6 \):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут отрицательными:

\( -x — 6 + 5 — x \geq 3 \)

Упрощаем:

\( 2x \leq -4 \), что даёт \( x \leq -2 \)

2. Если \( -6 < x \leq 5 \):

Тогда \( x + 6 \) положительное, а \( x — 5 \) отрицательное:

\( x + 6 + 5 — x \geq 3 \)

Упрощаем:

\( 0x \geq -8 \), что всегда верно, то есть \( x \in \mathbb{R} \)

3. Если \( x > 5 \):

Тогда оба выражения внутри абсолютных величин будут положительными:

\( x + 6 + x — 5 \geq 3 \)

Упрощаем:

\( 2x \geq 2 \), что даёт \( x \geq 1 \)

Ответ:

\( (-\infty; +\infty) \)