ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 347 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

а) |x^2+3x-4| < |3x|; в) |x^2-3x+2| < |3x-2|;

б) |x^2-2x+1| < |x-3|; г) |x^2-x| > |x-1|.

Решить неравенство:

а) \(|x^2 + 3x — 4| < |3x|\)
\[
(x^2 + 3x — 4)^2 < (3x)^2
\]

\[
(x^2 — 4)(x^2 + 6x — 4) < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 4 = 36 + 16 = 52
\]
Корни:

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13}
\]

Разложение:
\[
(x + 3 + \sqrt{13})(x + 2)(x + 3 — \sqrt{13})(x — 2) < 0
\]

Решение:
\[
-3 — \sqrt{13} < x < -2, \quad -3 + \sqrt{13} < x < 2
\]

Ответ: \((-3 — \sqrt{13}; -2) \cup (-3 + \sqrt{13}; 2)\).

б) \(|x^2 — 2x + 1| < |x — 3|\)
\[
(x^2 — 2x + 1)^2 < (x — 3)^2
\]

\[
(x^2 — 3x + 4)(x^2 — x — 2) < 0
\]

Дискриминанты:
1. Для \(x^2 — 3x + 4\): \(D = 3^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 < 0\), решений нет.
2. Для \(x^2 — x — 2\):
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9
\]

Корни:

\[
x_1 = -1, \quad x_2 = 2
\]

Разложение:

\[
(x + 1)(x — 2) < 0
\]

Решение:

\[
-1 < x < 2
\]

Ответ: \((-1; 2)\).

в) \(|x^2 — 3x + 2| < |3x — 2|\)

\[
(x^2 — 3x + 2)^2 < (3x — 2)^2
\]

\[
(x^2 — 6x + 4) \cdot x^2 < 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 4 = 36 — 16 = 20
\]

Корни:
\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}
\]

Решение:
\[
3 — \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}, \quad x \neq 0
\]

Ответ: \((3 — \sqrt{5}; 0) \cup (0; 3 + \sqrt{5})\).

г) \(|x^2 — x| > |x — 1|\)

\[
(x^2 — x)^2 > (x — 1)^2
\]

\[
(x^2 — 2x + 1)(x^2 — 1) > 0
\]

Разложение:
\[
(x — 1)^2 \cdot (x + 1)(x — 1) > 0
\]

Решение:
\[
x < -1, \quad x > 1, \quad x \neq 1
\]

Ответ: \((- \infty; -1) \cup (1; + \infty)\).

Задача (а):

Решить неравенство:

\( |x^2 + 3x — 4| < |3x| \)

Для начала возьмем квадраты обеих сторон:

\( (x^2 + 3x — 4)^2 < (3x)^2 \)

Раскрываем скобки и получаем:

\( (x^2 — 4)(x^2 + 6x — 4) < 0 \)

Теперь находим дискриминант для второй части:

Дискриминант:

\( D = 6^2 — 4 \cdot 4 = 36 + 16 = 52 \)

Корни:

\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13} \)

Разложение:

\( (x + 3 + \sqrt{13})(x + 2)(x + 3 — \sqrt{13})(x — 2) < 0 \)

Решение:

\( -3 — \sqrt{13} < x < -2, \quad -3 + \sqrt{13} < x < 2 \)

Ответ:

\( (-3 — \sqrt{13}; -2) \cup (-3 + \sqrt{13}; 2) \)

Задача (б):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 2x + 1| < |x — 3| \)

Для начала возьмем квадраты обеих сторон:

\( (x^2 — 2x + 1)^2 < (x — 3)^2 \)

Раскрываем скобки и получаем:

\( (x^2 — 3x + 4)(x^2 — x — 2) < 0 \)

Дискриминанты:

1. Для \( x^2 — 3x + 4 \): \( D = 3^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 = -7 \), решений нет.

2. Для \( x^2 — x — 2 \):

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \)

Корни:

\( x_1 = -1, \quad x_2 = 2 \)

Разложение:

\( (x + 1)(x — 2) < 0 \)

Решение:

\( -1 < x < 2 \)

Ответ:

\( (-1; 2) \)

Задача (в):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 3x + 2| < |3x — 2| \)

Для начала возьмем квадраты обеих сторон:

\( (x^2 — 3x + 2)^2 < (3x — 2)^2 \)

Раскрываем скобки и получаем:

\( (x^2 — 6x + 4) \cdot x^2 < 0 \)

Дискриминант для выражения \( x^2 — 6x + 4 \):

\( D = 6^2 — 4 \cdot 4 = 36 — 16 = 20 \)

Корни:

\( x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \)

Решение:

\( 3 — \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}, \quad x \neq 0 \)

Ответ:

\( (3 — \sqrt{5}; 0) \cup (0; 3 + \sqrt{5}) \)

Задача (г):

Решить неравенство:

\( |x^2 — x| > |x — 1| \)

Для начала возьмем квадраты обеих сторон:

\( (x^2 — x)^2 > (x — 1)^2 \)

Раскрываем скобки и получаем:

\( (x^2 — 2x + 1)(x^2 — 1) > 0 \)

Разлагаем:

\( (x — 1)^2 \cdot (x + 1)(x — 1) > 0 \)

Решение:

\( x < -1, \quad x > 1, \quad x \neq 1 \)

Ответ:

\( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \)