ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 345 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) |x^2+4x-5| < x^2-5; в) |x^2-5x+4| > 3x+4;

б) |x^2-3x+4| < x+1; г) |2x^2+x-1| > 4x+1.

Решить неравенства:

а) \(|x^2 + 4x — 5| < x^2 — 5\)

Первое неравенство:
\[
x^2 + 4x — 5 > 5 — x^2
\]

\[
2x^2 + 4x — 10 > 0
\]

\[
x^2 + 2x — 5 > 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 2^2 + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}
\]

\[
x < -1 — \sqrt{6}, \quad x > -1 + \sqrt{6}
\]

Второе неравенство:
\[
x^2 + 4x — 5 < x^2 — 5
\]

\[
4x < 0, \quad x < 0
\]

Ответ: \((- \infty; -1 — \sqrt{6})\).

б) \(|x^2 — 3x + 4| < x + 1\)

Первое неравенство:
\[
x^2 — 3x + 4 > -x — 1
\]

\[
x^2 — 2x + 5 > 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 5 = -16
\]

\[
D < 0, \, \text{значит } x \in \mathbb{R}
\]

Второе неравенство:
\[
x^2 — 3x + 4 < x + 1
\]

\[
x^2 — 4x + 3 < 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3
\]

\[
(x — 1)(x — 3) < 0
\]

\[
1 < x < 3
\]

Ответ: \((1; 3)\).

в) \(|x^2 — 5x + 4| > 3x + 4\)

Первое неравенство:
\[
x^2 — 5x + 4 < -3x — 4
\]

\[
x^2 — 2x + 8 < 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 8 = -28
\]

\[
D < 0, \, \text{значит решений нет.}
\]

Второе неравенство:
\[
x^2 — 5x + 4 > 3x + 4
\]

\[
x^2 — 8x > 0
\]

\[
x(x — 8) > 0
\]

\[
x < 0, \quad x > 8
\]

Ответ: \((- \infty; 0) \cup (8; +\infty)\).

г) \(|2x^2 + x — 1| > 4x + 1\)

Первое неравенство:
\[
2x^2 + x — 1 < -4x — 1
\]

\[
2x^2 + 5x < 0
\]

\[
x(2x + 5) < 0
\]

\[
-2,5 < x < 0
\]

Второе неравенство:
\[
2x^2 + x — 1 > 4x + 1
\]

\[
2x^2 — 3x — 2 > 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -0,5, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2
\]

\[
(x + 0,5)(x — 2) > 0
\]

\[
x < -0,5, \quad x > 2
\]

Ответ: \((- \infty; 0) \cup (2; +\infty)\).

Задача (а):

Решить неравенство:

\( |x^2 + 4x — 5| < x^2 — 5 \)

Распишем неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 + 4x — 5 > x^2 — 5 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 + 4x — 10 > 0 \)

Решаем это неравенство:

\( x^2 + 2x — 5 > 0 \)

Для этого неравенства находим дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 \)

Корни уравнения:

\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = -1 \pm \sqrt{6} \)

Таким образом, \( x < -1 — \sqrt{6} \) или \( x > -1 + \sqrt{6} \).

Второе неравенство:

\( x^2 + 4x — 5 < x^2 — 5 \)

Упрощаем:

\( 4x < 0 \)

Решение: \( x < 0 \)

Ответ:

\( (-\infty; -1 — \sqrt{6}) \)

Задача (б):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 3x + 4| < x + 1 \)

Распишем неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — 3x + 4 > -x — 1 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 2x + 5 > 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -16 \)

Так как дискриминант отрицателен, это выражение всегда положительно для всех \( x \). Следовательно, это неравенство выполняется для всех \( x \).

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 3x + 4 < x + 1 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 4x + 3 < 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

Решение: \( 1 < x < 3 \)

Ответ:

\( (1; 3) \)

Задача (в):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 5x + 4| > 3x + 4 \)

Распишем неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — 5x + 4 < -3x — 4 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 2x + 8 < 0 \)

Дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 8 = -28 \)

Так как дискриминант отрицателен, это неравенство не имеет решений.

\( \text{Решений нет} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 5x + 4 > 3x + 4 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 8x > 0 \)

Разделим на множители:

\( x(x — 8) > 0 \)

Это неравенство выполняется, когда \( x < 0 \) или \( x > 8 \).

Ответ:

\( (-\infty; 0) \cup (8; +\infty) \)

Задача (г):

Решить неравенство:

\( |2x^2 + x — 1| > 4x + 1 \)

Распишем неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( 2x^2 + x — 1 < -4x — 1 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 + 5x < 0 \)

Решаем его для \( x \):

\( x(2x + 5) < 0 \)

Это неравенство выполняется, когда \( -2,5 < x < 0 \).

Второе неравенство:

\( 2x^2 + x — 1 > 4x + 1 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 — 3x — 2 > 0 \)

Дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -0,5, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2 \)

Решаем неравенство \( (x + 0,5)(x — 2) > 0 \), оно выполняется, когда \( x < -0,5 \) или \( x > 2 \).

Ответ:

\( (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \)