ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 344 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

а) |x^2-3| < 6; в) |x^2+4x| < 5;

б) |x^2-8| < 7; г) |x^2-x| < 6.

Найти целые решения:

а) \(|x^2 — 3| < 6\)

*ервое неравенство:

\[ x^2 — 3 > -6 \]

\[ x^2 + 3 > 0, \, x \in \mathbb{R} \]

Второе неравенство:

\[ x^2 — 3 < 6 \]

\[ x^2 — 9 < 0 \]

\[ (x + 3)(x — 3) < 0 \]

\[ -3 < x < 3 \]

Ответ: \(-2; -1; 0; 1; 2\).

б) \(|x^2 — 8| < 7\)

Первое неравенство:

\[ x^2 — 8 > -7 \]

\[ x^2 — 1 > 0 \]

\[ (x + 1)(x — 1) > 0 \]

\[ x < -1, \, x > 1 \]

Второе неравенство:

\[ x^2 — 8 < 7 \]

\[ x^2 — 15 < 0 \]

\[ (x + \sqrt{15})(x — \sqrt{15}) < 0 \]

\[ -\sqrt{15} < x < \sqrt{15} \]

Ответ: \(-3; -2; 2; 3\).

в) \(|x^2 + 4x| < 5\)

Первое неравенство:

\[ x^2 + 4x > -5 \]

\[ x^2 + 4x + 5 > 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 4^2 — 4 \cdot 5 = -4 \]

\[ D < 0, \, \text{значит } x \in \mathbb{R} \]

Второе неравенство:

\[ x^2 + 4x < 5 \]

\[ x^2 + 4x — 5 < 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \]

\[ (x + 5)(x — 1) < 0 \]

\[ -5 < x < 1 \]

Ответ: \(-4; -3; -2; -1; 0\).

г) \(|x^2 — x| < 6\)

Первое неравенство:

\[ x^2 — x > -6 \]

\[ x^2 — x + 6 > 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 1^2 — 4 \cdot 6 = -23 \]

\[ D < 0, \, \text{значит } x \in \mathbb{R} \]

Второе неравенство:

\[ x^2 — x < 6 \]

\[ x^2 — x — 6 < 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

\[ (x + 2)(x — 3) < 0 \]

\[ -2 < x < 3 \]

Ответ: \(-1; 0; 1; 2\).

Задача (а):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 1| < 3 \)

Распишем неравенство на два случая. Абсолютная величина выражения может быть представлена двумя неравенствами:

Первое неравенство:

\( x^2 — 1 > -3 \)

Решаем его для \( x \):

Так как \( x^2 + 3 \) всегда больше 0 (квадрат числа всегда неотрицателен), то это неравенство выполняется для всех значений \( x \), то есть решение этого неравенства — все вещественные числа.

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 1 < 3 \)

Упрощаем:

\( x^2 < 4 \)

Теперь решаем неравенство \( x^2 < 4 \), которое даёт два интервала:

\( -2 < x < 2 \)

Это означает, что \( x \) лежит в интервале от \( -2 \) до \( 2 \).

Ответ:

\( (-2; 2) \)

Задача (б):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 8| < 7 \)

Распишем это неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — 8 > -7 \)

Решаем его для \( x \):

Это выражение \( x^2 — 1 > 0 \) можно разложить на множители:

\( (x + 1)(x — 1) > 0 \)

Это неравенство выполняется, когда \( x < -1 \) или \( x > 1 \). Это означает, что решения этого неравенства находятся за пределами интервала \( [-1, 1] \).

\( x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1 \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 8 < 7 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 8 — 7 < 0 \implies x^2 — 15 < 0 \)

Решаем для \( x \):

\( (x + \sqrt{15})(x — \sqrt{15}) < 0 \)

Это неравенство выполняется, когда \( -\sqrt{15} < x < \sqrt{15} \). Таким образом, \( x \) находится в пределах интервала от \( -\sqrt{15} \) до \( \sqrt{15} \).

Ответ:

\( (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; +\infty) \)

Задача (в):

Решить неравенство:

\( |x^2 + 4x| < 5 \)

Распишем неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 + 4x > -5 \)

Упрощаем:

\( x^2 + 4x + 5 > 0 \)

Теперь находим дискриминант для этого квадратного неравенства:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4 \)

Поскольку дискриминант отрицателен, это выражение всегда положительно для всех значений \( x \). Следовательно, это неравенство выполняется для всех вещественных чисел \( x \).

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 + 4x < 5 \)

Упрощаем:

\( x^2 + 4x — 5 < 0 \)

Находим дискриминант для этого неравенства:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \)

Теперь решаем неравенство \( (x + 5)(x — 1) < 0 \). Это неравенство выполняется, когда \( -5 < x < 1 \).

Ответ:

\( (-5; 1) \)

Задача (г):

Решить неравенство:

\( |x^2 — x| < 6 \)

Распишем это неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — x > -6 \)

Упрощаем:

\( x^2 — x + 6 > 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 6 = -23 \)

Так как дискриминант отрицателен, это выражение всегда положительно для всех значений \( x \). Следовательно, это неравенство выполняется для всех значений \( x \).

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — x < 6 \)

Упрощаем:

\( x^2 — x — 6 < 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)

Теперь решаем неравенство \( (x + 2)(x — 3) < 0 \). Это неравенство выполняется, когда \( -2 < x < 3 \).

Ответ:

\( (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \)