ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 344 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

а) \(|x^2 — 3| < 6\)

б) \(|x^2 — 8| < 7\)

в) \(|x^2 + 4x| < 5\)

г) \(|x^2 — x| < 6\)

Найти целые решения:

а) \(|x^2 — 3| < 6\)

Первое неравенство:

\[ x^2 — 3 > -6 \]

\[ x^2 + 3 > 0, \, x \in \mathbb{R} \]

Второе неравенство:

\[ x^2 — 3 < 6 \]

\[ x^2 — 9 < 0 \]

\[ (x + 3)(x — 3) < 0 \]

\[ -3 < x < 3 \]

Ответ: \(-2; -1; 0; 1; 2\).

б) \(|x^2 — 8| < 7\)

Первое неравенство:

\[ x^2 — 8 > -7 \]

\[ x^2 — 1 > 0 \]

\[ (x + 1)(x — 1) > 0 \]

\[ x < -1, \, x > 1 \]

Второе неравенство:

\[ x^2 — 8 < 7 \]

\[ x^2 — 15 < 0 \]

\[ (x + \sqrt{15})(x — \sqrt{15}) < 0 \]

\[ -\sqrt{15} < x < \sqrt{15} \]

Ответ: \(-3; -2; 2; 3\).

в) \(|x^2 + 4x| < 5\)

Первое неравенство:

\[ x^2 + 4x > -5 \]

\[ x^2 + 4x + 5 > 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 4^2 — 4 \cdot 5 = -4 \]

\[ D < 0, \, \text{значит } x \in \mathbb{R} \]

Второе неравенство:

\[ x^2 + 4x < 5 \]

\[ x^2 + 4x — 5 < 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \]

\[ (x + 5)(x — 1) < 0 \]

\[ -5 < x < 1 \]

Ответ: \(-4; -3; -2; -1; 0\).

г) \(|x^2 — x| < 6\)

Первое неравенство:

\[ x^2 — x > -6 \]

\[ x^2 — x + 6 > 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 1^2 — 4 \cdot 6 = -23 \]

\[ D < 0, \, \text{значит } x \in \mathbb{R} \]

Второе неравенство:

\[ x^2 — x < 6 \]

\[ x^2 — x — 6 < 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

\[ (x + 2)(x — 3) < 0 \]

\[ -2 < x < 3 \]

Ответ: \(-1; 0; 1; 2\).

а) $|x^2 — 3| < 6$

Для решения неравенства с модулем $|x^2 — 3| < 6$, нужно рассматривать два случая: один для положительного выражения внутри модуля, второй для отрицательного.

1. Первое неравенство: $x^2 — 3 > -6$

Если выражение внутри модуля $x^2 — 3$ больше или равно 0, мы просто убираем модуль. Начнем с первого неравенства:

$$x^2 — 3 > -6$$

Теперь решим это неравенство:

$$x^2 > -6 + 3$$ $$x^2 > -3$$

Это неравенство всегда верно для всех действительных чисел, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен ($x^2 \geq 0$). Следовательно, не существует ограничений на $x$, и $x \in \mathbb{R}$.

2. Второе неравенство: $x^2 — 3 < 6$

Теперь решим второй случай, когда выражение внутри модуля $x^2 — 3$ может быть меньше 0. Это условие эквивалентно неравенству:

$$x^2 — 3 < 6$$

Переносим 3 на правую сторону:

$$x^2 < 6 + 3$$ $$x^2 < 9$$

Теперь решим это неравенство:

$$-3 < x < 3$$

3. Целые решения:

Необходимо найти целые значения $x$, которые удовлетворяют неравенству $-3 < x < 3$. Это значения:

$$x = -2, -1, 0, 1, 2$$

Ответ:

$$-2; -1; 0; 1; 2$$

б) $|x^2 — 8| < 7$

Для решения этого неравенства также рассматриваем два случая.

1. Первое неравенство: $x^2 — 8 > -7$

Когда выражение внутри модуля $x^2 — 8$ больше 0, убираем модуль:

$$x^2 — 8 > -7$$

Теперь решим это неравенство:

$$x^2 > -7 + 8$$ $$x^2 > 1$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1$$

2. Второе неравенство: $x^2 — 8 < 7$

Когда выражение внутри модуля отрицательно, решаем неравенство:

$$x^2 — 8 < 7$$

Переносим 8 на правую сторону:

$$x^2 < 7 + 8$$ $$x^2 < 15$$

Теперь решим это неравенство:

$$-\sqrt{15} < x < \sqrt{15}$$

Поскольку $\sqrt{15} \approx 3.87$, мы получаем:

$$-3.87 < x < 3.87$$

Это неравенство выполняется для значений $x$, которые лежат между $-\sqrt{15}$ и $\sqrt{15}$. Нам нужны целые числа:

$$x = -3, -2, 2, 3$$

Ответ:

$$-3; -2; 2; 3$$

в) $|x^2 + 4x| < 5$

Для этого неравенства также рассмотрим два случая.

1. Первое неравенство: $x^2 + 4x > -5$

Когда выражение внутри модуля $x^2 + 4x$ положительно, убираем модуль:

$$x^2 + 4x > -5$$

Теперь решим это неравенство:

$$x^2 + 4x + 5 > 0$$

Рассмотрим дискриминант для квадратного уравнения $x^2 + 4x + 5 = 0$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4$$

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и квадратичное выражение всегда положительно. Следовательно, это неравенство всегда выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. Второе неравенство: $x^2 + 4x < 5$

Теперь решаем второе неравенство:

$$x^2 + 4x < 5$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 4x — 5 < 0$$

Для этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x — 5 = 0$. Вычислим дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 — 6}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$

Теперь решаем неравенство $(x + 5)(x — 1) < 0$. Используем метод знаков:

• На интервале $(-\infty; -5)$, оба множителя отрицательны, произведение положительное.
• На интервале $(-5; 1)$, $(x + 5)$ положительное, а $(x — 1)$ отрицательное, произведение отрицательное, значит неравенство выполняется.
• На интервале $(1; +\infty)$, оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале $-5 < x < 1$.

3. Целые решения:

Целые значения $x$, которые удовлетворяют неравенству $-5 < x < 1$:

$$x = -4, -3, -2, -1, 0$$

Ответ:

$$-4; -3; -2; -1; 0$$

г) $|x^2 — x| < 6$

Рассмотрим два случая для этого неравенства.

1. Первое неравенство: $x^2 — x > -6$

Когда выражение внутри модуля положительное:

$$x^2 — x > -6$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x + 6 > 0$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 6 = -23$$

Так как дискриминант отрицателен, это неравенство всегда выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. Второе неравенство: $x^2 — x < 6$

Теперь решаем второе неравенство:

$$x^2 — x < 6$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x — 6 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 — x — 6 = 0$. Вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = 3$$

Теперь решаем неравенство $(x + 2)(x — 3) < 0$. Используем метод знаков:

• На интервале $(-\infty; -2)$, оба множителя отрицательны, произведение положительное.
• На интервале $(-2; 3)$, $(x + 2)$ положительное, а $(x — 3)$ отрицательное, произведение отрицательное, значит неравенство выполняется.
• На интервале $(3; +\infty)$, оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале $-2 < x < 3$.

3. Целые решения:

Целые значения $x$, которые удовлетворяют неравенству $-2 < x < 3$:

$$x = -1, 0, 1, 2$$

Ответ:

$$-1; 0; 1; 2$$

Итоговый ответ:

а) $-2; -1; 0; 1; 2$
б) $-3; -2; 2; 3$
в) $-4; -3; -2; -1; 0$
г) $-1; 0; 1; 2$