ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 343 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите аналитически и графически неравенство:

а) |x² — 1| < 3;

б) |x² — 4| > 5

Решить неравенство:
а) |x² — 1| < 3;

Первое неравенство:
x² — 1 > -3;
x² > -2, x ∈ R;

Второе неравенство:
x² — 1 < 3;
x² — 4 < 0;
(x + 2)(x — 2) < 0;
-2 < x < 2;

Графики функций:

Ответ: (-2; 2).

б) |x² — 4| > 5;

Первое неравенство:
x² — 4 < -5;
x² + 1 < 0, x ∈ ∅;

Второе неравенство:
x² — 4 > 5;
x² — 9 > 0;
(x + 3)(x — 3) > 0;
x < -3, x > 3;

Графики функций:

Ответ: (-∞; -3) ∪ (3; +∞).

а) $|x^2 — 1| < 3$

Для этого неравенства необходимо рассматривать два случая, так как у нас модуль.

1. Первое неравенство: $x^2 — 1 > -3$

Когда выражение внутри модуля положительное, мы можем избавиться от модуля, так как модуль $|x^2 — 1| = x^2 — 1$, если $x^2 — 1 \geq 0$. Однако, чтобы решить неравенство, начнем с:

$$x^2 — 1 > -3$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 > -2$$

Это неравенство всегда выполняется для всех действительных чисел, потому что $x^2$ всегда неотрицательно, и оно не может быть меньше, чем $-2$. Таким образом, для первого случая решений нет ограничений, и $x \in \mathbb{R}$.

2. Второе неравенство: $x^2 — 1 < 3$

Теперь рассмотрим второй случай, когда выражение внутри модуля положительное, и оно подчиняется неравенству:

$$x^2 — 1 < 3$$

Переносим 1 на правую сторону:

$$x^2 < 4$$

Теперь решим это неравенство. Для этого можно представить его как:

$$x^2 — 4 < 0$$

Разложим на множители:

$$(x + 2)(x — 2) < 0$$

Теперь решим это неравенство с помощью метода знаков. Мы знаем, что корни этого неравенства — это $x = -2$ и $x = 2$. Мы делим числовую ось на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, и $(2; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -2)$, оба множителя $(x + 2)$ и $(x — 2)$ отрицательны, произведение положительное.
• На интервале $(-2; 2)$, $(x + 2)$ положительное, а $(x — 2)$ отрицательное, произведение отрицательное, значит неравенство выполняется.
• На интервале $(2; +\infty)$, оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале $-2 < x < 2$.

Ответ:

$$(-2; 2)$$

б) $|x^2 — 4| > 5$

Для этого неравенства также рассмотрим два случая:

1. Первое неравенство: $x^2 — 4 < -5$

Когда выражение внутри модуля отрицательное, то $|x^2 — 4| = -(x^2 — 4)$. То есть, мы получаем следующее неравенство:

$$x^2 — 4 < -5$$

Теперь решим это неравенство:

$$x^2 < -5 + 4$$ $$x^2 < -1$$

Это неравенство не имеет решений, потому что квадрат любого числа не может быть меньше отрицательного числа. Следовательно:

$$x \in \varnothing$$

2. Второе неравенство: $x^2 — 4 > 5$

Теперь рассмотрим второй случай, когда выражение внутри модуля положительное:

$$x^2 — 4 > 5$$

Переносим 4 на правую сторону:

$$x^2 > 9$$

Решаем это неравенство:

$$x > 3 \quad \text{или} \quad x < -3$$

Это неравенство выполняется, если $x < -3$ или $x > 3$.

Ответ:

$$(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$

Описание графиков функций:

Для неравенства (а): $|x^2 — 1| < 3$:
График функции $y = |x^2 — 1|$ представляет собой параболу, смещенную на 1 единицу по оси $y$. Парабола имеет минимум в точке $x = 0$, где значение функции равно 1. Значение $y = 3$ будет пересекаться с графиком дважды, что означает, что решение лежит между $x = -2$ и $x = 2$, что соответствует интервалу $(-2; 2)$.

Для неравенства (б): $|x^2 — 4| > 5$:
График функции $y = |x^2 — 4|$ представляет собой две параболы, одна из которых будет открыта вверх, а другая — вниз. Парабола будет иметь вершины в точках $x = -2$ и $x = 2$, где значение функции равно 0. Значение $y = 5$ будет пересекаться с графиком в двух точках: $x = -3$ и $x = 3$. Неравенство $|x^2 — 4| > 5$ означает, что решение лежит за этими точками, на интервалах $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$.

Итоговый ответ:

а) $(-2; 2)$
б) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$