ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 343 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите аналитически и графически неравенство:

а) |x^2-1| < 3; б) |x^2-4| > 5.

Решить неравенство:
а) |x² — 1| < 3;

Первое неравенство:
x² — 1 > -3;
x² > -2, x ∈ R;

Второе неравенство:
x² — 1 < 3;
x² — 4 < 0;
(x + 2)(x — 2) < 0;
-2 < x < 2;

Графики функций:

Ответ: (-2; 2).

б) |x² — 4| > 5;

Первое неравенство:
x² — 4 < -5;
x² + 1 < 0, x ∈ ∅;

Второе неравенство:
x² — 4 > 5;
x² — 9 > 0;
(x + 3)(x — 3) > 0;
x < -3, x > 3;

Графики функций:

Ответ: (-∞; -3) ∪ (3; +∞).

Задача (а):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 1| < 3 \)

Распишем неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — 1 > -3 \)

Решаем для \( x \):

\( x^2 > -2 \), что всегда верно, так как квадрат числа всегда неотрицателен. Следовательно, решения всегда существуют для всех \( x \).

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 1 < 3 \)

Упрощаем:

\( x^2 < 4 \)

Решаем для \( x \):

\( -2 < x < 2 \)

Ответ:

\( (-2; 2) \)

Задача (б):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 4| > 5 \)

Распишем неравенство на два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — 4 < -5 \)

Решаем для \( x \):

\( x^2 < -1 \), что невозможно, так как квадрат числа всегда неотрицателен. Следовательно, решений нет для этого неравенства, то есть \( x \in \emptyset \).

Второе неравенство:

\( x^2 — 4 > 5 \)

Упрощаем:

\( x^2 > 9 \)

Решаем для \( x \):

\( x > 3 \quad \text{или} \quad x < -3 \)

Ответ:

\( (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \)