ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 342 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) |x^2+1| > 2; в) |x^2-2x| < 6;

б) |x^2-2x| < 3; г) |x^2+x-1| > 1.

Решить неравенство:

а) \( |x^2 + 1| > 2 \);

Первое неравенство:

\[
x^2 + 1 \leq -2;
\]

Второе неравенство:

\[
x^2 + 1 > 2;
\]

\[
x^2 > 1;
\]

\[
x > 1 \quad \text{или} \quad x < -1;
\]

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).

б) \( |x^2 — 2x| \leq 3 \);

Первое неравенство:

\[
x^2 — 2x \geq -3;
\]

\[
x^2 — 2x + 3 \geq 0;
\]

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8, \quad D < 0, \quad x \in \mathbb{R};
\]

Второе неравенство:

\[
x^2 — 2x < 3;
\]

\[
x^2 — 2x — 3 < 0;
\]

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 3;
\]

Ответ: \( (-1; 3) \).

в) \( |x^2 — 2x| < 6 \);

Первое неравенство:

\[
x^2 — 2x > -6;
\]

\[
x^2 — 2x + 6 > 0;
\]

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 — 24 = -20, \quad D < 0, \quad x \in \mathbb{R};
\]

Второе неравенство:

\[
x^2 — 2x < 6;
\]

\[
x^2 — 2x — 6 < 0;
\]

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7};
\]

Ответ: \( (1 — \sqrt{7}; 1 + \sqrt{7}) \).

г) \( |x^2 + x — 1| > 1 \);

Первое неравенство:

\[
x^2 + x — 1 > 1;
\]

\[
x^2 + x — 2 > 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1;
\]

Второе неравенство:

\[
x^2 + x — 1 < -1;
\]

\[
x^2 + x = 0;
\]

\[
x(x + 1) = 0, \quad x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1;
\]

Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \).

Задача (а):

Решить неравенство:

\( |x^2 + 1| > 2 \)

Распишем неравенство как два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 + 1 \leq -2 \)

Решаем для \( x \):

\( x^2 < -3 \), что невозможно, так как квадрат числа всегда неотрицателен. Следовательно, решений нет.

\( x \in \varnothing \)

Второе неравенство:

\( x^2 + 1 > 2 \)

Упрощаем:

\( x^2 > 1 \)

Теперь решаем неравенство \( x^2 > 1 \), что даёт два интервала:

\( x > 1 \quad \text{или} \quad x < -1 \)

Ответ:

\( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \)

Задача (б):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 2x| \leq 3 \)

Распишем неравенство как два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — 2x \geq -3 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 2x + 3 \geq 0 \)

Находим дискриминант для этого квадратного уравнения:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8 \)

Так как дискриминант отрицателен, то квадратное неравенство всегда верно для всех \( x \).

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 2x < 3 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 2x — 3 < 0 \)

Находим дискриминант для этого квадратного неравенства:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 3 \)

Таким образом, интервал, на котором выполняется неравенство: \( (-1; 3) \).

Ответ:

\( (-1; 3) \)

Задача (в):

Решить неравенство:

\( |x^2 — 2x| < 6 \)

Распишем неравенство как два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 — 2x > -6 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 2x + 6 > 0 \)

Для этого выражения дискриминант:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 — 24 = -20 \)

Так как дискриминант отрицателен, неравенство всегда выполняется для всех \( x \).

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 2x < 6 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 2x — 6 < 0 \)

Находим дискриминант для этого квадратного неравенства:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28 \)

Корни уравнения:

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7} \)

Таким образом, решение неравенства на интервале: \( (1 — \sqrt{7}; 1 + \sqrt{7}) \).

Ответ:

\( (1 — \sqrt{7}; 1 + \sqrt{7}) \)

Задача (г):

Решить неравенство:

\( |x^2 + x — 1| > 1 \)

Распишем неравенство как два случая:

Первое неравенство:

\( x^2 + x — 1 > 1 \)

Упрощаем:

\( x^2 + x — 2 > 0 \)

Находим дискриминант для этого квадратного уравнения:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \)

Таким образом, решение неравенства: \( (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \).

Второе неравенство:

\( x^2 + x — 1 < -1 \)

Упрощаем:

\( x^2 + x = 0 \)

Решаем это уравнение:

\( x(x + 1) = 0 \), что даёт корни \( x = 0 \) или \( x = -1 \).

Таким образом, решение: \( x = -1 \) или \( x = 0 \).

Ответ:

\( (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \)