ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 342 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $|x^2 + 1| > 2$;

б) $|x^2 — 2x| < 3$;

в) $|x^2 — 2x| < 6$;

г) $|x^2 + x — 1| > 1$

Решить неравенство:

а) $|x^2 + 1| > 2$;

Первое неравенство:
$x^2 + 1 < -2$;
$x^2 < -3$, $x \in \varnothing$;

Второе неравенство:
$x^2 + 1 > 2$;
$x^2 — 1 > 0$;
$(x + 1)(x — 1) > 0$;
$x < -1$, $x > 1$;

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

б) $|x^2 — 2x| < 3$;

Первое неравенство:
$x^2 — 2x > -3$;
$x^2 — 2x + 3 > 0$;
$D = 2^2 — 4 \cdot 3 = -8$;
$D < 0$, значит $x \in \mathbb{R}$;

Второе неравенство:
$x^2 — 2x < 3$;
$x^2 — 2x — 3 < 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$x_1 = \dfrac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$;
$(x + 1)(x — 3) < 0$;
$-1 < x < 3$;

Ответ: $(-1; 3)$.

в) $|x^2 — 2x| < 6$;

Первое неравенство:
$x^2 — 2x > -6$;
$x^2 — 2x + 6 > 0$;
$D = 2^2 — 4 \cdot 6 = -20$;
$D < 0$, значит $x \in \mathbb{R}$;

Второе неравенство:
$x^2 — 2x < 6$;
$x^2 — 2x — 6 < 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 6 = 4 + 24 = 28$, тогда:
$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$;
$1 — \sqrt{7} < x < 1 + \sqrt{7}$;

Ответ: $(1 — \sqrt{7}; 1 + \sqrt{7})$.

г) $|x^2 + x — 1| > 1$;

Первое неравенство:
$x^2 + x — 1 < -1$;
$x(x + 1) < 0$;
$-1 < x < 0$;

Второе неравенство:
$x^2 + x — 1 > 1$;
$x^2 + x — 2 > 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \dfrac{-1 — 3}{2} = -2$ и $x_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$;
$(x + 2)(x — 1) > 0$;
$x < -2$, $x > 1$;

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

а) $|x^2 + 1| > 2$

Для неравенства с модулем $|x^2 + 1| > 2$ рассмотрим два случая, так как модуль может принимать два значения (положительное или отрицательное):

1. Первое неравенство: $x^2 + 1 < -2$

Рассмотрим случай, когда выражение внутри модуля отрицательно, и модуль $|x^2 + 1|$ будет $-(x^2 + 1)$. Мы получаем:

$$x^2 + 1 < -2$$

Теперь решим это неравенство:

$$x^2 < -3$$

Однако это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен ($x^2 \geq 0$). Поэтому, для этого случая решений нет:

$$x \in \varnothing$$

2. Второе неравенство: $x^2 + 1 > 2$

Теперь рассмотрим случай, когда выражение внутри модуля положительное, и модуль $|x^2 + 1|$ остается без изменений. Получаем:

$$x^2 + 1 > 2$$

Переносим 1 на правую сторону:

$$x^2 > 1$$

Теперь решим это неравенство. Из этого неравенства мы можем выразить:

$$x > 1 \quad \text{или} \quad x < -1$$

То есть $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ:

$$(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$$

б) $|x^2 — 2x| < 3$

Для неравенства $|x^2 — 2x| < 3$ также рассматриваем два случая:

1. Первое неравенство: $x^2 — 2x > -3$

Когда выражение внутри модуля положительное, мы можем просто избавиться от модуля:

$$x^2 — 2x > -3$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 2x + 3 > 0$$

Теперь решим это неравенство. Для того чтобы проверить, имеет ли это неравенство решения, вычислим дискриминант для квадратного уравнения $x^2 — 2x + 3 = 0$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8$$

Поскольку дискриминант $D = -8$ отрицателен, это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, $x^2 — 2x + 3$ всегда положительно, и неравенство всегда выполняется:

$$x \in \mathbb{R}$$

2. Второе неравенство: $x^2 — 2x < 3$

Теперь рассмотрим второй случай, когда выражение внутри модуля отрицательно, и модуль $|x^2 — 2x|$ превращается в $-(x^2 — 2x)$. Получаем:

$$x^2 — 2x < 3$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 2x — 3 < 0$$

Теперь решим это неравенство. Для этого находим корни квадратного уравнения $x^2 — 2x — 3 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Теперь рассмотрим знаки на интервалах, образованных этими корнями: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$, и $(3; +\infty)$.

Используем метод знаков для выражения $(x + 1)(x — 3) < 0$. Проверим знак на каждом интервале:

• Для интервала $(-\infty; -1)$, оба множителя $(x + 1)$ и $(x — 3)$ отрицательны, их произведение положительно.
• Для интервала $(-1; 3)$, $(x + 1)$ положительный, а $(x — 3)$ отрицательный, их произведение отрицательное, значит неравенство выполняется.
• Для интервала $(3; +\infty)$, оба множителя положительные, произведение положительное.

Итак, неравенство выполняется для $-1 < x < 3$.

Ответ:

$$(-1; 3)$$

в) $|x^2 — 2x| < 6$

Рассмотрим два случая:

1. Первое неравенство: $x^2 — 2x > -6$

Когда выражение внутри модуля положительное, мы можем просто избавиться от модуля:

$$x^2 — 2x > -6$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 2x + 6 > 0$$

Вычислим дискриминант для квадратного уравнения $x^2 — 2x + 6 = 0$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 — 24 = -20$$

Поскольку дискриминант отрицателен, это уравнение не имеет действительных корней, и выражение $x^2 — 2x + 6$ всегда положительно. Следовательно, неравенство всегда выполняется:

$$x \in \mathbb{R}$$

2. Второе неравенство: $x^2 — 2x < 6$

Теперь рассматриваем второй случай, когда выражение внутри модуля отрицательно:

$$x^2 — 2x < 6$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 2x — 6 < 0$$

Находим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $x^2 — 2x — 6 = 0$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$$

Таким образом, корни:

$$x_1 = 1 — \sqrt{7}, \quad x_2 = 1 + \sqrt{7}$$

Преобразуем это неравенство в виде:

$$1 — \sqrt{7} < x < 1 + \sqrt{7}$$

Ответ:

$$(1 — \sqrt{7}; 1 + \sqrt{7})$$

г) $|x^2 + x — 1| > 1$

Рассмотрим два случая:

1. Первое неравенство: $x^2 + x — 1 < -1$

Когда выражение внутри модуля отрицательное:

$$x^2 + x — 1 < -1$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + x \leq 0$$

Решаем это неравенство. Разлагаем:

$$x(x + 1) < 0$$

Корни уравнения: $x = 0$ и $x = -1$.

Теперь рассмотрим знаки на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, и $(0; +\infty)$:

• На интервале $(-\infty; -1)$ оба множителя отрицательны, произведение положительное.
• На интервале $(-1; 0)$ $(x + 1)$ положительный, $x$ отрицательный, произведение отрицательное.
• На интервале $(0; +\infty)$ оба множителя положительные, произведение положительное.

Неравенство выполняется для $-1 < x < 0$.

2. Второе неравенство: $x^2 + x — 1 > 1$

Когда выражение внутри модуля положительное:

$$x^2 + x — 1 > 1$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + x — 2 > 0$$

Решаем это неравенство. Находим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Это неравенство выполняется для $x < -2$ или $x > 1$.

Ответ:

$$(-\infty; -2) \cup (-1; 0) \cup (1; +\infty)$$

Итоговый ответ:

а) $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
б) $(-1; 3)$
в) $(1 — \sqrt{7}; 1 + \sqrt{7})$
г) $(-\infty; -2) \cup (-1; 0) \cup (1; +\infty)$