ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 341 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $|3x — 2| \geq 3,4$;

б) $|12x — 1| > 17$;

в) $|22 — 3x| < 8$;

г) $|16 — 7x| \leq 2$

Решить неравенство:

а) $|3x — 2| \geq 3,4$;

Первое неравенство:
$3x — 2 \leq -3,4$;
$3x \leq -1,4$, $x \leq -\dfrac{7}{15}$;

Второе неравенство:
$3x — 2 \geq 3,4$;
$3x \geq 5,4$, $x \geq 1,8$;

Ответ: $\left(-\infty; -\dfrac{7}{15}\right] \cup [1,8; +\infty)$.

б) $|12x — 1| > 17$;

Первое неравенство:
$12x — 1 < -17$;
$12x < -16$, $x < -1\dfrac{1}{3}$;

Второе неравенство:
$12x — 1 > 17$;
$12x > 18$, $x > 1\dfrac{1}{2}$;

Ответ: $\left(-\infty; -1\dfrac{1}{3}\right) \cup \left(1\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$.

в) $|22 — 3x| < 8$;
$-8 < 22 — 3x < 8$;
$-30 < -3x < -14$;
$-10 < -x < -4\dfrac{2}{3}$;
$4\dfrac{2}{3} < x < 10$;

Ответ: $\left(4\dfrac{2}{3}; 10\right)$.

г) $|16 — 7x| \leq 2$;
$-2 \leq 16 — 7x \leq 2$;
$-18 \leq -7x \leq -14$;
$-2\dfrac{4}{7} \leq -x \leq -2$;
$2 \leq x \leq 2\dfrac{4}{7}$;

Ответ: $\left[2; 2\dfrac{4}{7}\right]$.

а) $|3x — 2| \geq 3,4$

Для неравенства с модулем $|3x — 2| \geq 3,4$ нужно рассматривать два случая:

Первый случай: $3x — 2 \geq 3,4$

Когда выражение внутри модуля $3x — 2$ уже положительно или равно 3,4, мы можем просто избавиться от модуля. Получаем:

$$3x — 2 \geq 3,4$$

Теперь решим это неравенство. Переносим все числа на одну сторону:

$$3x \geq 3,4 + 2$$ $$3x \geq 5,4$$

Делим обе стороны на 3:

$$x \geq \frac{5,4}{3} = 1,8$$

Итак, первое решение: $x \geq 1,8$.

Второй случай: $3x — 2 \leq -3,4$

Когда выражение внутри модуля $3x — 2$ отрицательно, модуль превращается в противоположность этого выражения. То есть:

$$3x — 2 \leq -3,4$$

Теперь решим это неравенство. Переносим все числа на одну сторону:

$$3x \leq -3,4 + 2$$ $$3x \leq -1,4$$

Делим обе стороны на 3:

$$x \leq \frac{-1,4}{3} = -\frac{7}{15}$$

Итак, второе решение: $x \leq -\frac{7}{15}$.

Ответ:

Объединяя оба случая, получаем окончательное решение:

$$x \in \left(-\infty; -\frac{7}{15}\right] \cup [1,8; +\infty)$$

б) $|12x — 1| > 17$

Для неравенства с модулем $|12x — 1| > 17$ также рассмотрим два случая:

Первый случай: $12x — 1 > 17$

Когда выражение внутри модуля $12x — 1$ больше 17, можем просто избавиться от модуля. Получаем:

$$12x — 1 > 17$$

Решим это неравенство:

$$12x > 17 + 1$$ $$12x > 18$$

Делим обе стороны на 12:

$$x > \frac{18}{12} = 1,5$$

Итак, первое решение: $x > 1,5$.

Второй случай: $12x — 1 < -17$

Когда выражение внутри модуля $12x — 1$ меньше -17, модуль превращается в противоположность этого выражения:

$$12x — 1 < -17$$

Решим это неравенство:

$$12x < -17 + 1$$ $$12x < -16$$

Делим обе стороны на 12:

$$x < \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$$

Итак, второе решение: $x < -\frac{4}{3}$.

Ответ:

Объединяя оба случая, получаем окончательное решение:

$$x \in \left(-\infty; -\frac{4}{3}\right) \cup \left(1,5; +\infty\right)$$

в) $|22 — 3x| < 8$

Для неравенства $|22 — 3x| < 8$ также нужно рассматривать два случая:

Первый случай: $22 — 3x < 8$

Когда выражение внутри модуля $22 — 3x$ меньше 8, можем просто избавиться от модуля. Получаем:

$$22 — 3x < 8$$

Решим это неравенство:

$$-3x < 8 — 22$$ $$-3x < -14$$

Делим обе стороны на -3 (при этом знак неравенства меняется на противоположный):

$$x > \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}$$

Итак, первое решение: $x > 4 \frac{2}{3}$.

Второй случай: $22 — 3x > -8$

Когда выражение внутри модуля $22 — 3x$ больше -8, можем просто избавиться от модуля:

$$22 — 3x > -8$$

Решим это неравенство:

$$-3x > -8 — 22$$ $$-3x > -30$$

Делим обе стороны на -3 (при этом знак неравенства меняется на противоположный):

$$x < 10$$

Итак, второе решение: $x < 10$.

Ответ:

Объединяя оба случая, получаем окончательное решение:

$$x \in \left(4 \frac{2}{3}; 10\right)$$

г) $|16 — 7x| \leq 2$

Для неравенства $|16 — 7x| \leq 2$ также рассмотрим два случая:

Первый случай: $16 — 7x \leq 2$

Когда выражение внутри модуля $16 — 7x$ меньше или равно 2, можем просто избавиться от модуля. Получаем:

$$16 — 7x \leq 2$$

Решим это неравенство:

$$-7x \leq 2 — 16$$ $$-7x \leq -14$$

Делим обе стороны на -7 (при этом знак неравенства меняется на противоположный):

$$x \geq 2$$

Итак, первое решение: $x \geq 2$.

Второй случай: $16 — 7x \geq -2$

Когда выражение внутри модуля $16 — 7x$ больше или равно -2, можем просто избавиться от модуля:

$$16 — 7x \geq -2$$

Решим это неравенство:

$$-7x \geq -2 — 16$$ $$-7x \geq -18$$

Делим обе стороны на -7 (при этом знак неравенства меняется на противоположный):

$$x \leq \frac{18}{7} = 2 \frac{4}{7}$$

Итак, второе решение: $x \leq 2 \frac{4}{7}$.

Ответ:

Объединяя оба случая, получаем окончательное решение:

$$x \in \left[2; 2 \frac{4}{7}\right]$$

Итоговый ответ:

а) $\left(-\infty; -\frac{7}{15}\right] \cup [1,8; +\infty)$
б) $\left(-\infty; -\frac{4}{3}\right) \cup \left(1,5; +\infty\right)$
в) $\left(4 \frac{2}{3}; 10\right)$
г) $\left[2; 2 \frac{4}{7}\right]$