ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 335 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $6x^2 \ge x + 7$;

б) $25x^2 + 4 \le 20x$;

в) $17x^2 + 1 < x$

Решить неравенство:

а) $6x^2 \ge x + 7$;
$6x^2 — x — 7 \ge 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 7 = 1 + 168 = 169$, тогда:
$x_1 = \dfrac{1 — 13}{2 \cdot 6} = -1$ и $x_2 = \dfrac{1 + 13}{2 \cdot 6} = \dfrac{7}{6} = 1\dfrac{1}{6}$;
$(x + 1)\left(x — 1\dfrac{1}{6}\right) \ge 0$;
$x \le -1, \; x \ge 1\dfrac{1}{6}$;
Ответ: $(-\infty; -1] \cup \left[1\dfrac{1}{6}; +\infty\right)$.

б) $25x^2 + 4 \le 20x$;
$25x^2 — 20x + 4 \le 0$;
$(5x — 2)^2 \le 0$;
$5x — 2 = 0$;
$5x = 2, \; x = 0,4$;
Ответ: $\{0,4\}$.

в) $17x^2 + 1 < x$;
$17x^2 — x + 1 < 0$;
$D = 1^2 — 4 \cdot 17 = -67$;
$D < 0$, значит $x \in \varnothing$;
Ответ: решений нет.

а) $6x^2 \ge x + 7$

Приводим неравенство к стандартному виду.

Начнем с того, что перенесем все члены на одну сторону неравенства:

$$6x^2 — x — 7 \ge 0$$

Находим корни соответствующего квадратного уравнения.

Для того чтобы решить неравенство, найдем корни квадратного уравнения $6x^2 — x — 7 = 0$, используя дискриминант. Формула для вычисления дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Для уравнения $6x^2 — x — 7 = 0$, коэффициенты:

$a = 6$

$b = -1$

$c = -7$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169$$

Находим корни уравнения.

Так как $D = 169 > 0$, у нас два различных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{1 — 13}{12} = \frac{-12}{12} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 13}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$$

Таким образом, корни уравнения $6x^2 — x — 7 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1 \frac{1}{6}$.

Решаем неравенство.

Теперь решим неравенство $(x + 1)\left(x — 1 \frac{1}{6}\right) \ge 0$. Это неравенство можно решить с помощью метода знаков.

Корни неравенства: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1 \frac{1}{6}$.

Разбиваем числовую ось на интервалы, определяем знак на каждом интервале.

Интервалы:

$$(-\infty; -1), \; (-1; 1 \frac{1}{6}), \; (1 \frac{1}{6}; +\infty)$$

Проверяем знак на каждом интервале:

В интервале $(-\infty; -1)$: оба множителя $(x + 1)$ и $(x — 1 \frac{1}{6})$ отрицательные, произведение положительное.

В интервале $(-1; 1 \frac{1}{6})$: $(x + 1)$ положительное, а $(x — 1 \frac{1}{6})$ отрицательное, произведение отрицательное.

В интервале $(1 \frac{1}{6}; +\infty)$: оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется для $x \le -1$ и $x \ge 1 \frac{1}{6}$.

Ответ:

$$(-\infty; -1] \cup \left[1 \frac{1}{6}; +\infty\right)$$

б) $25x^2 + 4 \le 20x$

Приводим неравенство к стандартному виду.

Переносим все члены на одну сторону неравенства:

$$25x^2 — 20x + 4 \le 0$$

Решаем неравенство.

Попробуем факторизовать левую часть. Заметим, что выражение $25x^2 — 20x + 4$ является полным квадратом:

$$25x^2 — 20x + 4 = (5x — 2)^2$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$(5x — 2)^2 \le 0$$

Решаем неравенство.

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($(5x — 2)^2 \ge 0$), единственный способ, при котором $(5x — 2)^2 \le 0$, это когда $(5x — 2) = 0$.

Таким образом:

$$5x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{5} = 0,4$$

Ответ:

$$\{0,4\}$$

в) $17x^2 + 1 < x$

Приводим неравенство к стандартному виду.

Переносим все члены на одну сторону:

$$17x^2 — x + 1 < 0$$

Находим дискриминант.

Для того чтобы проверить существование решений, вычислим дискриминант $D$ для соответствующего квадратного уравнения $17x^2 — x + 1 = 0$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 17 \cdot 1 = 1 — 68 = -67$$

Анализируем дискриминант.

Поскольку дискриминант $D = -67$ отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что неравенство $17x^2 — x + 1 < 0$ не имеет решений.

Ответ:

Решений нет.

$$x \in \varnothing$$

Итоговый ответ:

а) $(-\infty; -1] \cup \left[1 \frac{1}{6}; +\infty\right)$
б) $\{0,4\}$
в) решений нет.