ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 334 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^3 + |x — 4| + 2 = 0$;

б) $\frac{x^3 — 8}{|x — 2|} — x|x — 2| = 0$

Решить уравнение:

а) $x^3 + |x — 4| + 2 = 0$;

Если $x \geq 4$, тогда:
$x^3 + x — 4 + 2 = 0$;
$x^3 + x — 2 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & 1 & -2 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

$(x — 1)(x^2 + x + 2) = 0$;
$x — 1 = 0, \; x = 1$;

Если $x < 4$, тогда:
$x^3 + 4 — x + 2 = 0$;
$x^3 — x + 6 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & -1 & 6 \\ \hline -2 & 1 & -2 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$(x + 2)(x^2 — 2x + 3) = 0$;
$x + 2 = 0, \; x = -2$;

Ответ: $-2$.

б) $\frac{x^3 — 8}{|x — 2|} — x|x — 2| = 0$;

$x^3 — 8 — x(x — 2)^2 = 0$;
$x^3 — 8 — x(x^2 — 4x + 4) = 0$;
$x^3 — 8 — x^3 + 4x^2 — 4x = 0$;
$4x^2 — 4x — 8 = 0$;
$x^2 — x — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 2 \cdot 4 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

Ответ: $-1$.

а) $x^3 + |x — 4| + 2 = 0$

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая для модуля $|x — 4|$.

1. Случай 1: $x \geq 4$

Когда $x \geq 4$, выражение для модуля $|x — 4|$ упрощается до $x — 4$, так как для $x \geq 4$ разность $x — 4$ положительна. Подставим это в исходное уравнение:

$$x^3 + |x — 4| + 2 = 0$$ $$x^3 + (x — 4) + 2 = 0$$ $$x^3 + x — 4 + 2 = 0$$ $$x^3 + x — 2 = 0$$

Теперь решим кубическое уравнение $x^3 + x — 2 = 0$. Для этого можно попытаться найти один из корней с помощью подбора. Подставляем $x = 1$:

$$1^3 + 1 — 2 = 1 + 1 — 2 = 0$$

Таким образом, $x = 1$ является корнем. Теперь разложим кубическое уравнение на множители с использованием деления многочленов:

$$x^3 + x — 2 = (x — 1)(x^2 + x + 2) = 0$$

Решаем линейное уравнение $x — 1 = 0$, получаем:

$$x = 1$$

Дальше решаем квадратное уравнение $x^2 + x + 2 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7$$

Так как дискриминант отрицателен, то у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, из первого случая $x \geq 4$ мы получаем только один корень $x = 1$.

Однако, $x = 1$ не удовлетворяет условию $x \geq 4$, так как $1 < 4$.

Следовательно, для случая $x \geq 4$ решений нет.

2. Случай 2: $x < 4$

Когда $x < 4$, выражение для модуля $|x — 4|$ упрощается до $4 — x$, так как $x — 4$ отрицательно для $x < 4$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$x^3 + |x — 4| + 2 = 0$$ $$x^3 + (4 — x) + 2 = 0$$ $$x^3 + 4 — x + 2 = 0$$ $$x^3 — x + 6 = 0$$

Теперь решим кубическое уравнение $x^3 — x + 6 = 0$. Попробуем найти корни методом подбора. Подставляем $x = -2$:

$$(-2)^3 — (-2) + 6 = -8 + 2 + 6 = 0$$

Таким образом, $x = -2$ является корнем. Разделим $x^3 — x + 6$ на $(x + 2)$ с помощью деления многочленов:

$$x^3 — x + 6 = (x + 2)(x^2 — 2x + 3) = 0$$

Решаем линейное уравнение $x + 2 = 0$, получаем:

$$x = -2$$

Теперь решаем квадратное уравнение $x^2 — 2x + 3 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8$$

Так как дискриминант отрицателен, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, из второго случая $x < 4$ мы получаем единственный корень $x = -2$.

Ответ:

$$x = -2$$

б) $\frac{x^3 — 8}{|x — 2|} — x|x — 2| = 0$

Решим это уравнение с учетом модуля $|x — 2|$.

1. Случай 1: $x \geq 2$

Когда $x \geq 2$, выражение для модуля $|x — 2|$ упрощается до $x — 2$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$\frac{x^3 — 8}{|x — 2|} — x|x — 2| = 0$$ $$\frac{x^3 — 8}{x — 2} — x(x — 2) = 0$$

Решим первую часть уравнения $\frac{x^3 — 8}{x — 2}$. Заметим, что $x^3 — 8$ можно разложить по формуле разности кубов:

$$x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)$$

Таким образом, выражение $\frac{x^3 — 8}{x — 2}$ упростится до:

$$\frac{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)}{x — 2} = x^2 + 2x + 4$$

Теперь у нас уравнение:

$$x^2 + 2x + 4 — x(x — 2) = 0$$

Раскрываем скобки во второй части уравнения:

$$x^2 + 2x + 4 — x^2 + 2x = 0$$ $$4x + 4 = 0$$

Решаем полученное линейное уравнение:

$$4x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Однако, это решение не удовлетворяет условию $x \geq 2$, так как $-1 < 2$.

Следовательно, для случая $x \geq 2$ решений нет.

2. Случай 2: $x < 2$

Когда $x < 2$, выражение для модуля $|x — 2|$ упрощается до $2 — x$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$\frac{x^3 — 8}{|x — 2|} — x|x — 2| = 0$$ $$\frac{x^3 — 8}{2 — x} — x(2 — x) = 0$$

Используем разложение $x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)$, и у нас получается:

$$\frac{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)}{2 — x} — x(2 — x) = 0$$

Замечаем, что $\frac{x — 2}{2 — x} = -1$, и у нас получается:

$$-(x^2 + 2x + 4) — x(2 — x) = 0$$

Теперь раскрываем скобки:

$$-(x^2 + 2x + 4) — 2x + x^2 = 0$$ $$-x^2 — 2x — 4 — 2x + x^2 = 0$$ $$-4x — 4 = 0$$

Решаем:

$$-4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Это решение удовлетворяет условию $x < 2$, так как $-1 < 2$.

Ответ:

$$x = -1$$

Итоговый ответ:

а) $x = -2$
б) $x = -1$