ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 332 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) 3/|x-2|=x-4; в) 5/|2x+1|=x-1;

б) 10/|2x-3|=x-1; г) (x^2+4x)/|x+2|=2x/3.

Задача 1 (a)
Решить уравнение:

\[
\frac{3}{|x — 2|} = x — 4.
\]

Если \(x > 2\):

\[
\frac{3}{x — 2} = x — 4;
\]

\[
(x — 2)(x — 4) = 3;
\]

\[
x^2 — 4x — 2x + 8 = 3;
\]

\[
x^2 — 6x + 5 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\]

Если \(x < 2\):

\[
\frac{3}{2 — x} = x — 4;
\]

\[
(x — 2)(x — 4) = -3;
\]

\[
x^2 — 4x — 2x + 8 = -3;
\]

\[
x^2 — 6x + 11 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = -8.
\]

Так как \(D < 0\), решений нет.

Ответ: \(5\).

Задача 2 (б)
Решить уравнение:

\[
\frac{10}{|2x — 3|} = x — 1.
\]

Если \(x > 1.5\):

\[
\frac{10}{2x — 3} = x — 1;
\]

\[
(x — 1)(2x — 3) = 10;
\]

\[
2x^2 — 3x — 2x + 3 = 10;
\]

\[
2x^2 — 5x — 7 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25 + 56 = 81.
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{5 — 9}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{4} = 3.5.
\]

Если \(x < 1.5\):

\[
\frac{10}{3 — 2x} = x — 1;
\]

\[
(x — 1)(2x — 3) = -10;
\]

\[
2x^2 — 5x + 13 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 13 = -79.
\]

Так как \(D < 0\), решений нет.

Ответ: \(3.5\).

Задача 3 (в)
Решить уравнение:

\[
\frac{5}{|2x + 1|} = x — 1.
\]

Если \(x > -0.5\):

\[
\frac{5}{2x + 1} = x — 1;
\]

\[
(x — 1)(2x + 1) = 5;
\]

\[
2x^2 + x — 2x — 1 = 5;
\]

\[
2x^2 — x — 6 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49.
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{-1 — 7}{4} = -1.5, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{4} = 2.
\]

Если \(x < -0.5\):

\[
\frac{5}{-2x — 1} = x — 1;
\]

\[
(x — 1)(2x + 1) = -5;
\]

\[
2x^2 + x — 2x — 1 = -5;
\]

\[
2x^2 + 4 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = -31.
\]

Так как \(D < 0\), решений нет.

Ответ: \(2\).

Задача 4 (г)
Решить уравнение:

\[
\frac{x^2 + 4x}{|x + 2|} = \frac{2x}{3}.
\]

Если \(x > -2\):

\[
\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3};
\]

\[
3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2);
\]

\[
3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x;
\]

\[
x^2 + 8x = 0;
\]

\[
x(x + 8) = 0.
\]

Корни:
\[
x_1 = -8, \quad x_2 = 0.
\]

Если \(x < -2\):

\[
\frac{x^2 + 4x}{-x — 2} = \frac{2x}{3};
\]

\[
-3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2);
\]

\[
-3x^2 — 12x = 2x^2 + 4x;
\]

\[
5x^2 + 16x = 0;
\]

\[
x(5x + 16) = 0.
\]

Корни:
\[
x_1 = -3.2, \quad x_2 = 0.
\]

Ответ: \(-3.2; 0\).

Задача 1 (a):

Решить уравнение:

\( \frac{3}{|x — 2|} = x — 4 \)

1. Если \( x > 2 \):

В этом случае \( |x — 2| = x — 2 \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{3}{x — 2} = x — 4 \)

Умножаем обе стороны на \( x — 2 \) (при условии, что \( x > 2 \), \( x — 2 > 0 \)):

\( x^2 — 6x + 5 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = 1, \quad x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = 5 \)

Так как \( x > 2 \), допустим только \( x = 5 \).

2. Если \( x < 2 \):

В этом случае \( |x — 2| = 2 — x \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{3}{2 — x} = x — 4 \)

Умножаем обе стороны на \( 2 — x \) (при условии, что \( x < 2 \), \( 2 — x > 0 \)):

\( x^2 — 6x + 11 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 — 44 = -8 \)

Так как дискриминант отрицателен (\( D < 0 \)), решений нет для \( x < 2 \).

Ответ:

\( x = 5 \)

Задача 2 (б):

Решить уравнение:

\( \frac{10}{|2x — 3|} = x — 1 \)

1. Если \( x > 1.5 \):

В этом случае \( |2x — 3| = 2x — 3 \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{10}{2x — 3} = x — 1 \)

Умножаем обе стороны на \( 2x — 3 \) (при условии, что \( x > 1.5 \), \( 2x — 3 > 0 \)):

\( (x — 1)(2x — 3) = 10 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 — 5x — 7 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{4} = 3.5 \)

Так как \( x > 1.5 \), допустим только \( x = 3.5 \).

2. Если \( x < 1.5 \):

В этом случае \( |2x — 3| = 3 — 2x \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{10}{3 — 2x} = x — 1 \)

Умножаем обе стороны на \( 3 — 2x \) (при условии, что \( x < 1.5 \), \( 3 — 2x > 0 \)):

\( (x — 1)(2x — 3) = -10 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 — 5x + 13 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 13 = 25 — 104 = -79 \)

Так как дискриминант отрицателен (\( D < 0 \)), решений нет для \( x < 1.5 \).

Ответ:

\( x = 3.5 \)

Задача 3 (в):

Решить уравнение:

\( \frac{5}{|2x + 1|} = x — 1 \)

1. Если \( x > -0.5 \):

В этом случае \( |2x + 1| = 2x + 1 \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{5}{2x + 1} = x — 1 \)

Умножаем обе стороны на \( 2x + 1 \) (при условии, что \( x > -0.5 \), \( 2x + 1 > 0 \)):

\( (x — 1)(2x + 1) = 5 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 — x — 6 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = -1.5, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{4} = 2 \)

Так как \( x > -0.5 \), допустимы решения \( x = 2 \) (так как \( x = -1.5 \) не подходит по условию).

2. Если \( x < -0.5 \):

В этом случае \( |2x + 1| = -(2x + 1) = -2x — 1 \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{5}{-2x — 1} = x — 1 \)

Умножаем обе стороны на \( -2x — 1 \) (при условии, что \( x < -0.5 \), \( -2x — 1 > 0 \)):

\( (x — 1)(2x + 1) = -5 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 + 4 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = -31 \)

Так как дискриминант отрицателен (\( D < 0 \)), решений нет для \( x < -0.5 \).

Ответ:

\( x = 2 \)

Задача 4 (г):

Решить уравнение:

\( \frac{x^2 + 4x}{|x + 2|} = \frac{2x}{3} \)

1. Если \( x > -2 \):

В этом случае \( |x + 2| = x + 2 \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3} \)

Умножаем обе стороны на \( 3(x + 2) \) (при условии, что \( x > -2 \), \( x + 2 > 0 \)):

\( 3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2) \)

Упрощаем:

\( 3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x \)

\( x^2 + 8x = 0 \)

Корни:

\( x_1 = -8, \quad x_2 = 0 \)

Так как \( x > -2 \), допустимы решения \( x = 0 \) (так как \( x = -8 \) не подходит по условию).

2. Если \( x < -2 \):

В этом случае \( |x + 2| = -(x + 2) = -x — 2 \). Подставляем это в уравнение:

\( \frac{x^2 + 4x}{-x — 2} = \frac{2x}{3} \)

Умножаем обе стороны на \( -3(x + 2) \) (при условии, что \( x < -2 \), \( -x — 2 > 0 \)):

\( -3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2) \)

Упрощаем:

\( -3x^2 — 12x = 2x^2 + 4x \)

\( 5x^2 + 16x = 0 \)

Корни:

\( x_1 = -3.2, \quad x_2 = 0 \)

Так как \( x < -2 \), допустимо только \( x = -3.2 \).

Ответ:

\( x = -3.2 \quad \text{и} \quad x = 0 \)