ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 331 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) |y-4|+|y-6|=8; в) |x|+|x-1|+|x-2|=3;

б) |y+3|-|y-2|=5; г) |x|+|x-4|+|x-5|=12.

Уравнение (а):
\[
|y — 4| + |y — 6| = 8
\]

Если \(y \leq 4\):
\[
4 — y + 6 — y = 8
\]

\[
2y = 2, \quad y = 1
\]

Если \(4 < y \leq 6\):
\[
y — 4 + 6 — y = 8
\]

Если \(y > 6\):
\[
y — 4 + y — 6 = 8
\]

\[
2y = 18, \quad y = 9
\]

Ответ: \(1; 9\)

Уравнение (б):
\[
|y + 3| — |y — 2| = 5
\]

Если \(y \leq -3\):
\[
-y — 3 + y — 2 = 5
\]

Если \(-3 < y \leq 2\):
\[
y + 3 + y — 2 = 5
\]

\[
2y = 4, \quad y = 2
\]

Если \(y > 2\):
\[
y + 3 — y + 2 = 5
\]

\[
0y = 0, \quad y \in \mathbb{R}
\]

Ответ: \([2; +\infty)\)

Уравнение (в):
\[
|x| + |x — 1| + |x — 2| = 3
\]

Если \(x \leq 0\):
\[
-x + 1 — x + 2 — x = 3
\]

\[
3x = 0, \quad x = 0
\]

Если \(0 < x \leq 1\):
\[
x + 1 — x + 2 — x = 3
\]

\[
x = 3 — 3 = 0
\]

Если \(1 < x \leq 2\):
\[
x + x — 1 + 2 — x = 3
\]

\[
x = 3 — 1 = 2
\]

Если \(x > 2\):
\[
x + x — 1 + x — 2 = 3
\]
\[
3x = 6, \quad x = 2
\]

Ответ: \(0; 2\)

Уравнение (г):
\[
|x| + |x — 4| + |x — 5| = 12
\]

Если \(x \leq 0\):
\[
-x + 4 — x + 5 — x = 12
\]

\[
3x = -3, \quad x = -1
\]

Если \(0 < x \leq 4\):
\[
x + 4 — x + 5 — x = 12
\]

\[
x = 9 — 12 = -3
\]

Если \(4 < x \leq 5\):
\[
x + x — 4 + 5 — x = 12
\]

\[
x = 12 — 1 = 11
\]

Если \(x > 5\):
\[
x + x — 4 + x — 5 = 12
\]

\[
3x = 21, \quad x = 7
\]

Ответ: \(-1; 7\)

Уравнение (а):

\( |y — 4| + |y — 6| = 8 \)

1. Если \( y \leq 4 \):

В этом случае \( |y — 4| = 4 — y \) и \( |y — 6| = 6 — y \). Подставляем в уравнение:

\( (4 — y) + (6 — y) = 8 \)

Упрощаем:

\( 10 — 2y = 8 \)

Решаем для \( y \):

\( 2y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \)

Таким образом, для \( y \leq 4 \), решение \( y = 1 \).

2. Если \( 4 < y \leq 6 \):

В этом случае \( |y — 4| = y — 4 \) и \( |y — 6| = 6 — y \). Подставляем в уравнение:

\( (y — 4) + (6 — y) = 8 \)

Упрощаем:

\( 2 = 8 \)

Это противоречие, следовательно, решений нет для \( 4 < y \leq 6 \).

3. Если \( y > 6 \):

В этом случае \( |y — 4| = y — 4 \) и \( |y — 6| = y — 6 \). Подставляем в уравнение:

\( (y — 4) + (y — 6) = 8 \)

Упрощаем:

\( 2y — 10 = 8 \)

Решаем для \( y \):

\( 2y = 18 \quad \Rightarrow \quad y = 9 \)

Таким образом, для \( y > 6 \), решение \( y = 9 \).

Ответ:

\( y = 1 \quad \text{и} \quad y = 9 \)

Уравнение (б):

\( |y + 3| — |y — 2| = 5 \)

1. Если \( y \leq -3 \):

В этом случае \( |y + 3| = -y — 3 \) и \( |y — 2| = -y + 2 \). Подставляем в уравнение:

\( (-y — 3) — (-y + 2) = 5 \)

Упрощаем:

\( -3 + 2 = 5 \), что даёт противоречие. Таким образом, решений нет для \( y \leq -3 \).

2. Если \( -3 < y \leq 2 \):

В этом случае \( |y + 3| = y + 3 \) и \( |y — 2| = 2 — y \). Подставляем в уравнение:

\( (y + 3) — (2 — y) = 5 \)

Упрощаем:

\( 2y + 1 = 5 \)

Решаем для \( y \):

\( 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \)

Таким образом, для \( -3 < y \leq 2 \), решение \( y = 2 \).

3. Если \( y > 2 \):

В этом случае \( |y + 3| = y + 3 \) и \( |y — 2| = y — 2 \). Подставляем в уравнение:

\( (y + 3) — (y — 2) = 5 \)

Упрощаем:

\( 5 = 5 \), что является истинным утверждением. Следовательно, все значения \( y \in [2; +\infty) \) являются решениями.

Ответ:

\( y \in [2; +\infty) \)

Уравнение (в):

\( |x| + |x — 1| + |x — 2| = 3 \)

1. Если \( x \leq 0 \):

В этом случае \( |x| = -x \), \( |x — 1| = 1 — x \) и \( |x — 2| = 2 — x \). Подставляем в уравнение:

\( (-x) + (1 — x) + (2 — x) = 3 \)

Упрощаем:

\( -3x + 3 = 3 \)

Решаем для \( x \):

\( -3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \)

Таким образом, для \( x \leq 0 \), решение \( x = 0 \).

2. Если \( 0 < x \leq 1 \):

В этом случае \( |x| = x \), \( |x — 1| = 1 — x \) и \( |x — 2| = 2 — x \). Подставляем в уравнение:

\( x + (1 — x) + (2 — x) = 3 \)

Упрощаем:

\( 3 — x = 3 \)

Решаем для \( x \):

\( x = 0 \), что является противоречием, так как \( 0 < x \leq 1 \). Таким образом, нет решений для этого интервала.

3. Если \( 1 < x \leq 2 \):

В этом случае \( |x| = x \), \( |x — 1| = x — 1 \) и \( |x — 2| = 2 — x \). Подставляем в уравнение:

\( x + (x — 1) + (2 — x) = 3 \)

Упрощаем:

\( 2x — 1 = 3 \)

Решаем для \( x \):

\( 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \)

Таким образом, для \( 1 < x \leq 2 \), решение \( x = 2 \).

4. Если \( x > 2 \):

В этом случае \( |x| = x \), \( |x — 1| = x — 1 \) и \( |x — 2| = x — 2 \). Подставляем в уравнение:

\( x + (x — 1) + (x — 2) = 3 \)

Упрощаем:

\( 3x — 3 = 3 \)

Решаем для \( x \):

\( 3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \)

Таким образом, для \( x > 2 \), решение \( x = 2 \).

Ответ:

\( x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \)

Уравнение (г):

\( |x| + |x — 4| + |x — 5| = 12 \)

1. Если \( x \leq 0 \):

В этом случае \( |x| = -x \), \( |x — 4| = 4 — x \) и \( |x — 5| = 5 — x \). Подставляем в уравнение:

\( (-x) + (4 — x) + (5 — x) = 12 \)

Упрощаем:

\( 3x — 3 = 12 \)

Решаем для \( x \):

\( 3x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \)

Таким образом, для \( x \leq 0 \), решение \( x = -1 \).

2. Если \( 0 < x \leq 4 \):

В этом случае \( |x| = x \), \( |x — 4| = 4 — x \) и \( |x — 5| = 5 — x \). Подставляем в уравнение:

\( x + (4 — x) + (5 — x) = 12 \)

Упрощаем:

\( 9 — x = 12 \)

Решаем для \( x \):

\( x = -3 \), что даёт противоречие. Таким образом, решений нет для \( 0 < x \leq 4 \).

3. Если \( 4 < x \leq 5 \):

В этом случае \( |x| = x \), \( |x — 4| = x — 4 \) и \( |x — 5| = 5 — x \). Подставляем в уравнение:

\( x + (x — 4) + (5 — x) = 12 \)

Упрощаем:

\( 2x — 1 = 12 \)

Решаем для \( x \):

\( 2x = 13 \quad \Rightarrow \quad x = 6.5 \)

Это значение не попадает в интервал \( 4 < x \leq 5 \), следовательно, решений нет.

4. Если \( x > 5 \):

В этом случае \( |x| = x \), \( |x — 4| = x — 4 \) и \( |x — 5| = x — 5 \). Подставляем в уравнение:

\( x + (x — 4) + (x — 5) = 12 \)

Упрощаем:

\( 3x — 9 = 12 \)

Решаем для \( x \):

\( 3x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \)

Таким образом, для \( x > 5 \), решение \( x = 7 \).

Ответ:

\( x = -1 \quad \text{и} \quad x = 7 \)