ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 329 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^2+2x+|x+1|=0;

б) x^2-2x+2·|x-1|+1=0;

в) 4x(x-1)+|2x-1|=1.

Уравнение (а):
\[
x^2 + 2x + |x + 1| = 0
\]

Если \(x \geq -1\):
\[
x^2 + 2x + x + 1 = 0
\]

\[
x^2 + 3x + 1 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}
\]

Если \(x < -1\):
\[
x^2 + 2x — x — 1 = 0
\]

\[
x^2 + x — 1 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}
\]

Ответ:
\[
x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2},
\]

Уравнение (б):
\[
x^2 — 2x + 2|x — 1| + 1 = 0
\]

Если \(x \geq 1\):
\[
x^2 — 2x + 2(x — 1) + 1 = 0
\]

\[
x^2 — 1 = 0
\]

Корни:
\[
x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1
\]

Если \(x < 1\):
\[
x^2 — 2x — 2(x — 1) + 1 = 0
\]

\[
x^2 — 4x + 3 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3
\]

Ответ:
\[
x = 1\]

Уравнение (в):
\[
4x(x — 1) + |2x — 1| = 1
\]

Если \(x \geq 0.5\):
\[
4x^2 — 4x + 2x — 1 = 1
\]

\[
4x^2 — 2x — 2 = 0
\]

\[
2x^2 — x — 1 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1
\]

Если \(x < 0.5\):
\[
4x^2 — 4x — 2x + 1 = 1
\]

\[
4x^2 — 6x = 0
\]

\[
2x(2x — 3) = 0
\]

Корни:

\[
x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{2}
\]

Ответ:

\[
x = 0, \quad x = 1
\]

Уравнение (а):

\( x^2 + 2x + |x + 1| = 0 \)

Рассмотрим два случая для значения \( |x + 1| \):

1. Если \( x \geq -1 \):

В этом случае \( |x + 1| = x + 1 \). Подставляем это в исходное уравнение:

\( x^2 + 2x + (x + 1) = 0 \)

Упростим выражение:

\( x^2 + 3x + 1 = 0 \)

Теперь находим дискриминант этого квадратного уравнения:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \)

2. Если \( x < -1 \):

В этом случае \( |x + 1| = -(x + 1) \), так как \( x + 1 \) будет отрицательным. Подставляем это в исходное уравнение:

\( x^2 + 2x — (x + 1) = 0 \)

Упростим выражение:

\( x^2 + x — 1 = 0 \)

Теперь находим дискриминант для этого квадратного уравнения:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)

Ответ:

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем все решения уравнения:

\( x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \)

Уравнение (б):

\( x^2 — 2x + 2|x — 1| + 1 = 0 \)

1. Если \( x \geq 1 \):

В этом случае \( |x — 1| = x — 1 \). Подставляем это в уравнение:

\( x^2 — 2x + 2(x — 1) + 1 = 0 \)

Упростим выражение:

\( x^2 — 2x + 2x — 2 + 1 = 0 \)

\( x^2 — 1 = 0 \)

Решим это уравнение:

\( x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \)

Таким образом, для \( x \geq 1 \) есть два возможных значения: \( x = 1 \).

2. Если \( x < 1 \):

В этом случае \( |x — 1| = -(x — 1) = 1 — x \). Подставляем это в уравнение:

\( x^2 — 2x + 2(1 — x) + 1 = 0 \)

Упростим выражение:

\( x^2 — 2x + 2 — 2x + 1 = 0 \)

\( x^2 — 4x + 3 = 0 \)

Находим дискриминант для этого уравнения:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

Таким образом, для \( x < 1 \) мы имеем \( x = 1 \), что также подходит, так как \( 1 \) является границей этого интервала.

Ответ:

\( x = 1 \)

Уравнение (в):

\( 4x(x — 1) + |2x — 1| = 1 \)

1. Если \( x \geq 0.5 \):

В этом случае \( |2x — 1| = 2x — 1 \). Подставляем это в уравнение:

\( 4x^2 — 4x + 2x — 1 = 1 \)

Упростим выражение:

\( 4x^2 — 2x — 2 = 0 \)

Делим на 2:

\( 2x^2 — x — 1 = 0 \)

Находим дискриминант для этого уравнения:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \)

2. Если \( x < 0.5 \):

В этом случае \( |2x — 1| = -(2x — 1) = 1 — 2x \). Подставляем это в уравнение:

\( 4x^2 — 4x — 2x + 1 = 1 \)

Упростим выражение:

\( 4x^2 — 6x = 0 \)

Вынесем общий множитель:

\( 2x(2x — 3) = 0 \)

Корни:

\( x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{2} \)

Ответ:

\( x = 0, \quad x = 1 \)