ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 329 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^2+2x+|x+1|=0;

б) x^2-2x+2·|x-1|+1=0;

в) 4x(x-1)+|2x-1|=1.

Решить уравнение:

а) $x^2 + 2x + |x + 1| = 0$;

Если $x \ge -1$, тогда:
$x^2 + 2x + x + 1 = 0$;
$x^2 + 3x + 1 = 0$;
$D = 3^2 — 4 \cdot 1 = 9 — 4 = 5$, тогда:
$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$;

Если $x < -1$, тогда:
$x^2 + 2x — x — 1 = 0$;
$x^2 + x — 1 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$;

Ответ: $\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}$.

б) $x^2 — 2x + 2|x — 1| + 1 = 0$;

Если $x \ge 1$, тогда:
$x^2 — 2x + 2(x — 1) + 1 = 0$;
$x^2 — 1 = 0$, $x^2 = 1$, $x = \pm 1$;

Если $x < 1$, тогда:
$x^2 — 2x — 2(x — 1) + 1 = 0$;
$x^2 — 4x + 3 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;

Ответ: 1.

в) $4x(x — 1) + |2x — 1| = 1$;

Если $x \ge 0,5$, тогда:
$4x^2 — 4x + 2x — 1 = 1$;
$4x^2 — 2x — 2 = 0$;
$2x^2 — x — 1 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1$;

Если $x < 0,5$, тогда:
$4x^2 — 4x — 2x + 1 = 1$;
$4x^2 — 6x = 0$;
$2x(2x — 3) = 0$;
$x_1 = 0$, $x_2 = 1,5$;

Ответ: 0; 1.

а) $x^2 + 2x + |x + 1| = 0$

Разбор по случаям для модуля $|x + 1|$

Случай 1: $x \ge -1$

Когда $x \ge -1$, модуль $|x + 1| = x + 1$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$x^2 + 2x + (x + 1) = 0$$

Приводим подобные:

$$x^2 + 2x + x + 1 = 0$$ $$x^2 + 3x + 1 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5$$

Так как $D > 0$, у нас два корня. Формула для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$

Таким образом, корни для случая $x \ge -1$ — это:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$

Проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию $x \ge -1$.

Для $x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}$:
Число $\sqrt{5} \approx 2.236$, и подставив это, получаем:

$$x_1 \approx \frac{-3 — 2.236}{2} = \frac{-5.236}{2} \approx -2.618$$

Этот корень меньше, чем $-1$, значит, его исключаем.

Для $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$:

$$x_2 \approx \frac{-3 + 2.236}{2} = \frac{-0.764}{2} \approx -0.382$$

Этот корень удовлетворяет условию $x \ge -1$, так как $x_2 \approx -0.382 \ge -1$.

Таким образом, для случая $x \ge -1$ единственный подходящий корень — это:

$$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$

Случай 2: $x < -1$

Когда $x < -1$, модуль $|x + 1| = -(x + 1)$, так как $x + 1$ отрицательно. Подставляем это в исходное уравнение:

$$x^2 + 2x — (x + 1) = 0$$

Приводим подобные:

$$x^2 + 2x — x — 1 = 0$$ $$x^2 + x — 1 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

Так как $D > 0$, у нас два корня. Формула для корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$

Таким образом, корни для случая $x < -1$ — это:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$

Проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию $x < -1$.

Для $x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}$:

$$x_1 \approx \frac{-1 — 2.236}{2} = \frac{-3.236}{2} \approx -1.618$$

Этот корень меньше, чем $-1$, значит, его принимаем.

Для $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$:

$$x_2 \approx \frac{-1 + 2.236}{2} = \frac{1.236}{2} \approx 0.618$$

Этот корень не удовлетворяет условию $x < -1$, значит, его исключаем.

Таким образом, для случая $x < -1$ единственный подходящий корень — это:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}$$

б) $x^2 — 2x + 2|x — 1| + 1 = 0$

Разбор по случаям для модуля $|x — 1|$

Случай 1: $x \ge 1$

Когда $x \ge 1$, модуль $|x — 1| = x — 1$. Подставляем это в уравнение:

$$x^2 — 2x + 2(x — 1) + 1 = 0$$ $$x^2 — 2x + 2x — 2 + 1 = 0$$ $$x^2 — 1 = 0$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию $x \ge 1$.

Для $x = 1$: Удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, его принимаем.

Для $x = -1$: Не удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, его исключаем.

Таким образом, для случая $x \ge 1$ подходящий корень — это:

$$x = 1$$

Случай 2: $x < 1$

Когда $x < 1$, модуль $|x — 1| = -(x — 1) = 1 — x$. Подставляем это в уравнение:

$$x^2 — 2x + 2(1 — x) + 1 = 0$$ $$x^2 — 2x + 2 — 2x + 1 = 0$$ $$x^2 — 4x + 3 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Так как $D > 0$, у нас два корня. Формула для корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию $x < 1$.

Для $x_1 = 1$: Не удовлетворяет условию $x < 1$, значит, его исключаем.

Для $x_2 = 3$: Не удовлетворяет условию $x < 1$, значит, его исключаем.

Таким образом, для случая $x < 1$ нет подходящих корней.

Ответ:

$$x = 1$$

в) $4x(x — 1) + |2x — 1| = 1$

Разбор по случаям для модуля $|2x — 1|$

Случай 1: $x \ge 0,5$

Когда $x \ge 0,5$, модуль $|2x — 1| = 2x — 1$. Подставляем это в уравнение:

$$4x(x — 1) + (2x — 1) = 1$$ $$4x^2 — 4x + 2x — 1 = 1$$ $$4x^2 — 2x — 2 = 0$$ $$2x^2 — x — 1 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Так как $D > 0$, у нас два корня. Формула для корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$$

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию $x \ge 0,5$.

Для $x_1 = -\frac{1}{2}$: Не удовлетворяет условию $x \ge 0,5$, значит, его исключаем.

Для $x_2 = 1$: Удовлетворяет условию $x \ge 0,5$, значит, его принимаем.

Таким образом, для случая $x \ge 0,5$ подходящий корень — это:

$$x = 1$$

Случай 2: $x < 0,5$

Когда $x < 0,5$, модуль $|2x — 1| = 1 — 2x$. Подставляем это в уравнение:

$$4x(x — 1) + (1 — 2x) = 1$$ $$4x^2 — 4x + 1 — 2x = 1$$ $$4x^2 — 6x = 0$$ $$2x(2x — 3) = 0$$

Решаем это уравнение:

$2x = 0 \Rightarrow x = 0$

$2x — 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию $x < 0,5$.

Для $x = 0$: Удовлетворяет условию $x < 0,5$, значит, его принимаем.

Для $x = \frac{3}{2}$: Не удовлетворяет условию $x < 0,5$, значит, его исключаем.

Таким образом, для случая $x < 0,5$ подходящий корень — это:

$$x = 0$$

Ответ:

$$x = 0; 1$$