ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 328 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) (x^2-4)|x|+3=0; в) 3/(|x|-2)-9/(|x|+3)=x^2/(x^2+|x|-6);

б) (p^2-7)|p|=-6; г) (x^2-4|x|-2)/(|x|-2x^2)=1.

Уравнение (а):
\[
(x^2 — 4)|x| + 3 = 0
\]

\[
|x|^3 — 4|x| + 3 = 0
\]

Пусть \(y = |x|\), тогда:
\[
y^3 — 4y + 3 = 0
\]

Разложение:

\[
(y — 1)(y^2 + y — 3) = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13
\]
Корни:

\[
y_1 = \frac{-1 — \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}
\]

Первое значение:
\[
|x| = 1, \quad x = \pm 1
\]

— Второе значение:
\[
|x| = \frac{\sqrt{13} — 1}{2}, \quad x = \pm \frac{\sqrt{13} — 1}{2}
\]

Ответ:

\[
x = -1, 1, \pm \frac{\sqrt{13} — 1}{2}
\]

Уравнение (б):
\[
(p^2 — 7)|p| = -6
\]

\[
|p|^3 — 7|p| + 6 = 0
\]

Пусть \(y = |p|\), тогда:

\[
y^3 — 7y + 6 = 0
\]

Разложение:
\[
(y — 1)(y^2 + y — 6) = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25
\]
Корни:

\[
y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\]

— Первое значение:

\[
|p| = 1, \quad p = \pm 1
\]

— Второе значение:

\[
|p| = 2, \quad p = \pm 2
\]

Ответ:

\[
p = -2, -1, 1, 2
\]

Уравнение (в)
\[
\frac{3}{|x| — 2} — \frac{9}{|x| + 3} = \frac{x^2}{x^2 + |x| — 6}
\]

Пусть \(y = |x|\), тогда:

\[
\frac{3}{y — 2} — \frac{9}{y + 3} = \frac{y^2}{y^2 + y — 6}
\]

Приведение к общему знаменателю:

\[
\frac{3(y + 3) — 9(y — 2)}{(y — 2)(y + 3)} = \frac{y^2}{(y + 3)(y — 2)}
\]

Упрощение:
\[
3y + 9 — 9y + 18 = y^2
\]

\[
-6y + 27 = y^2
\]

\[
y^2 + 6y — 27 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144
\]
Корни:

\[
y_1 = \frac{-6 — 12}{2} = -9, \quad y_2 = \frac{-6 + 12}{2} = 3
\]

— Первое значение:

\[
|x| = -9, \quad \text{нет решений}
\]

— Второе значение:

\[
|x| = 3, \quad x = \pm 3
\]

Ответ:

\[
x = -3, 3
\]

Уравнение (г):
\[
\frac{x^2 — 4|x| — 2}{|x| — 2x^2} = 1
\]

Пусть \(y = |x|\), тогда:
\[
\frac{y^2 — 4y — 2}{y — 2y^2} = 1
\]

Приведение к общему знаменателю:

\[
y^2 — 4y — 2 = y — 2y^2
\]

\[
y^2 — 4y — 2 — y + 2y^2 = 0
\]

\[
2y^2 — y — 2 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17
\]
Корни:

\[
y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{17}}{2 \cdot 2}, \quad y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{17}}{2 \cdot 2}
\]

— Первое значение:

\[
|x| = 1, \quad \text{нет решений}
\]

— Второе значение:

\[
|x| = 2, \quad x = \pm 2
\]

Ответ:
\[
x = -2, 2
\]

Уравнение (а):

\( (x^2 — 4)|x| + 3 = 0 \)

Мы начинаем с того, что заменяем \( |x| \) на \( y \), чтобы упростить решение. То есть, пусть \( y = |x| \). Тогда уравнение преобразуется в следующее:

\( y^3 — 4y + 3 = 0 \)

Для решения этого уравнения используем разложение:

\( (y — 1)(y^2 + y — 3) = 0 \)

Теперь решаем каждую из частей:

Первый множитель: \( y — 1 = 0 \), откуда \( y = 1 \).

Второй множитель: \( y^2 + y — 3 = 0 \), для чего находим дискриминант:

Дискриминант для второго множителя:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13 \)

Корни второго множителя:

\( y_1 = \frac{-1 — \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \)

Теперь подставим значения \( y \) обратно в выражение для \( x \), помня, что \( y = |x| \), и найдем корни для \( x \):

Если \( y = 1 \), то \( |x| = 1 \), то есть \( x = \pm 1 \).

Если \( y = \frac{\sqrt{13} — 1}{2} \), то \( |x| = \frac{\sqrt{13} — 1}{2} \), следовательно, \( x = \pm \frac{\sqrt{13} — 1}{2} \).

Ответ для уравнения (а):

\( x = -1, 1, \pm \frac{\sqrt{13} — 1}{2} \)

Уравнение (б):

\( (p^2 — 7)|p| = -6 \)

\( |p|^3 — 7|p| + 6 = 0 \)

Пусть \( y = |p| \), тогда уравнение преобразуется в:

\( y^3 — 7y + 6 = 0 \)

Для решения этого уравнения используем разложение:

\( (y — 1)(y^2 + y — 6) = 0 \)

Теперь решаем каждую из частей:

Первый множитель: \( y — 1 = 0 \), откуда \( y = 1 \).

Второй множитель: \( y^2 + y — 6 = 0 \), для чего находим дискриминант:

Дискриминант для второго множителя:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \)

Корни второго множителя:

\( y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)

Теперь подставим значения \( y \) обратно в выражение для \( p \), помня, что \( y = |p| \), и найдем корни для \( p \):

Если \( y = 1 \), то \( |p| = 1 \), следовательно, \( p = \pm 1 \).

Если \( y = 2 \), то \( |p| = 2 \), следовательно, \( p = \pm 2 \).

Ответ для уравнения (б):

\( p = -2, -1, 1, 2 \)

Уравнение (в):

\( \frac{3}{|x| — 2} — \frac{9}{|x| + 3} = \frac{x^2}{x^2 + |x| — 6} \)

Пусть \( y = |x| \), тогда уравнение преобразуется в:

\( \frac{3}{y — 2} — \frac{9}{y + 3} = \frac{y^2}{y^2 + y — 6} \)

Приводим левую часть уравнения к общему знаменателю:

\( \frac{3(y + 3) — 9(y — 2)}{(y — 2)(y + 3)} = \frac{y^2}{(y + 3)(y — 2)} \)

Упрощаем числитель:

\( 3y + 9 — 9y + 18 = y^2 \)

\( -6y + 27 = y^2 \)

Получаем квадратное уравнение:

\( y^2 + 6y — 27 = 0 \)

Дискриминант для этого уравнения:

\( D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144 \)

Корни для этого уравнения:

\( y_1 = \frac{-6 — 12}{2} = -9, \quad y_2 = \frac{-6 + 12}{2} = 3 \)

Теперь подставляем значения \( y \) обратно в выражение для \( x \), помня, что \( |x| = y \), и находим корни для \( x \):

Если \( y = -9 \), то это не имеет смысла, так как \( |x| \) не может быть отрицательным. Таким образом, решения нет.

Если \( y = 3 \), то \( |x| = 3 \), следовательно, \( x = \pm 3 \).

Ответ для уравнения (в):

\( x = -3, 3 \)

Уравнение (г):

\( \frac{x^2 — 4|x| — 2}{|x| — 2x^2} = 1 \)

Пусть \( y = |x| \), тогда уравнение преобразуется в:

\( \frac{y^2 — 4y — 2}{y — 2y^2} = 1 \)

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

\( y^2 — 4y — 2 = y — 2y^2 \)

Упрощаем:

\( y^2 — 4y — 2 — y + 2y^2 = 0 \)

\( 2y^2 — y — 2 = 0 \)

Дискриминант для этого уравнения:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17 \)

Корни для этого уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{17}}{2 \cdot 2}, \quad y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} \)

Теперь подставляем значения \( y \) обратно в выражение для \( x \), помня, что \( |x| = y \), и находим корни для \( x \):

Если \( y = 1 \), то \( |x| = 1 \), но для этого значения решений нет.

Если \( y = 2 \), то \( |x| = 2 \), следовательно, \( x = \pm 2 \).

Ответ для уравнения (г):

\( x = -2, 2 \)