ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 321 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) |x^2-1|=0; в) |x^2-5x+1|=5;

б) |8-x^2|=1; г) |x^2-x+1|=1.

Решить уравнение:

а) \(|x^2 — 1| = 0;\)
\(x^2 — 1 = 0;\)

\(x^2 = 1, \; x = \pm 1;\)

Ответ: \(-1; 1.\)

б) \(|8 — x^2| = 1;\)
Первое уравнение:

\(8 — x^2 = -1;\)

\(x^2 = 9, \; x = \pm 3;\)

Второе уравнение:

\(8 — x^2 = 1;\)

\(x^2 = 7, \; x = \pm \sqrt{7};\)

Ответ: \(-3; -\sqrt{7}; \sqrt{7}; 3.\)

в) \(|x^2 — 5x + 1| = 5;\)

Первое уравнение:

\(x^2 — 5x + 1 = -5;\)

\(x^2 — 5x + 6 = 0;\)

\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1;\)

\(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \; x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;\)

Второе уравнение:

\(x^2 — 5x + 1 = 5;\)

\(x^2 — 5x — 4 = 0;\)

\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41;\)

\(x_1 = \frac{5 — \sqrt{41}}{2}, \; x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{2};\)

Ответ: \(2; 3; \frac{5 — \sqrt{41}}{2}; \frac{5 + \sqrt{41}}{2}.\)

г) \(|x^2 — x + 1| = 1;\)

Первое уравнение:

\(x^2 — x + 1 = -1;\)

\(x^2 — x + 2 = 0;\)

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7;\)

\(D < 0, \; x \notin \mathbb{R};\)

Второе уравнение:

\(x^2 — x + 1 = 1;\)

\(x(x — 1) = 0;\)

\(x_1 = 0, \; x_2 = 1;\)

Ответ: \(0; 1.\)

а) $|x^2 — 1| = 0$

Шаг 1: Анализ уравнения с модулем.

Модуль числа равен нулю только в случае, если это число действительно равно нулю. То есть, уравнение $|x^2 — 1| = 0$ сводится к следующему уравнению:

$$x^2 — 1 = 0$$

Шаг 2: Решение полученного уравнения.

Решим уравнение:

$$x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1$$

Теперь найдем корни:

$$x = \pm 1$$

Шаг 3: Ответ.

Таким образом, решения уравнения:

$$x = -1 \quad \text{и} \quad x = 1$$

Ответ: $-1, 1$

б) $|8 — x^2| = 1$

Шаг 1: Анализ уравнения с модулем.

Модуль равен 1, если выражение внутри модуля равно либо 1, либо -1. То есть, нам нужно решить два уравнения:

1. $8 — x^2 = 1$
2. $8 — x^2 = -1$

Шаг 2: Решение первого уравнения.

Решим уравнение:

$$8 — x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 8 — 1 = 7$$

Корни этого уравнения:

$$x = \pm \sqrt{7}$$

Шаг 3: Решение второго уравнения.

Решим уравнение:

$$8 — x^2 = -1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 8 + 1 = 9$$

Корни этого уравнения:

$$x = \pm 3$$

Шаг 4: Ответ.

Таким образом, решения уравнения:

$$x = -\sqrt{7}, \quad x = \sqrt{7}, \quad x = -3, \quad x = 3$$

Ответ: $-3, -\sqrt{7}, \sqrt{7}, 3$

в) $|x^2 — 5x + 1| = 5$

Шаг 1: Анализ уравнения с модулем.

Модуль равен 5, если выражение внутри модуля равно либо 5, либо -5. То есть, нам нужно решить два уравнения:

1. $x^2 — 5x + 1 = 5$
2. $x^2 — 5x + 1 = -5$

Шаг 2: Решение первого уравнения.

Решим уравнение:

$$x^2 — 5x + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x — 4 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$$

Корни этого уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$$

Шаг 3: Решение второго уравнения.

Решим уравнение:

$$x^2 — 5x + 1 = -5 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 6 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни этого уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Шаг 4: Ответ.

Таким образом, решения уравнения:

$$x = 2, \quad x = 3, \quad x = \frac{5 — \sqrt{41}}{2}, \quad x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$$

Ответ: $2, 3, \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

г) $|x^2 — x + 1| = 1$

Шаг 1: Анализ уравнения с модулем.

Модуль равен 1, если выражение внутри модуля равно либо 1, либо -1. То есть, нам нужно решить два уравнения:

1. $x^2 — x + 1 = 1$
2. $x^2 — x + 1 = -1$

Шаг 2: Решение первого уравнения.

Решим уравнение:

$$x^2 — x + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x = 0$$

Факторизуем:

$$x(x — 1) = 0$$

Корни этого уравнения:

$$x = 0, \quad x = 1$$

Шаг 3: Решение второго уравнения.

Решим уравнение:

$$x^2 — x + 1 = -1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x + 2 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7$$

Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), то у уравнения нет действительных решений.

Шаг 4: Ответ.

Таким образом, решения уравнения:

$$x = 0, \quad x = 1$$

Ответ: $0,1$$0, 1$