ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 312 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях x график функции y=(6-2x)/(x+1) расположен:

а) выше прямой y=2;

б) внутри полосы, ограниченной прямыми y=1 и y=5?

Найти все значения \(x\):

а)
\[
\frac{6 — 2x}{x + 1} > 2;
\]

\[
2x + 2 — 6 + 2x < 0;
\]

\[
\frac{4x — 4}{x + 1} < 0;
\]

\[
-1 < x < 1;
\]

Ответ:

\((-1; 1)\).

б)
\[
1 \leq \frac{6 — 2x}{x + 1} \leq 5;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{6 — 2x}{x + 1} \geq 1;
\]

\[
\frac{x + 1 — 6 + 2x}{x + 1} \leq 0;
\]

\[
\frac{3x — 5}{x + 1} \leq 0;
\]

\[
-1 < x \leq \frac{5}{3};
\]

Второе неравенство:
\[
\frac{6 — 2x}{x + 1} \leq 5;
\]

\[
\frac{5x + 5 — 6 + 2x}{x + 1} \geq 0;
\]

\[
\frac{7x — 1}{x + 1} \geq 0;
\]

\[
x < -1, \quad x \geq \frac{1}{7};
\]

Ответ:

\[
\left[\frac{1}{7}; \frac{5}{3}\right).
\]

а)

Дано неравенство:

\( \frac{6 — 2x}{x + 1} > 2 \)

Решение:

Умножаем обе части на \( x + 1 \), учитывая, что \( x \neq -1 \):

\( 6 — 2x > 2(x + 1) \)

Упростим:

\( 6 — 2x > 2x + 2 \)

Переносим все переменные на одну сторону:

\( 2x + 2x < 6 — 2 \Rightarrow 4x < 4 \Rightarrow x < 1 \)

Теперь решим неравенство \( \frac{4x — 4}{x + 1} < 0 \):

\( \frac{4(x — 1)}{x + 1} < 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (1, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак положительный.

На промежутке \( (-1, 1) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (1, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для второго неравенства: \( -1 < x < 1 \).

Ответ: \( (-1; 1) \)

б)

Дано неравенство:

\( 1 \leq \frac{6 — 2x}{x + 1} \leq 5 \)

Решение:

Решим первое неравенство:

\( \frac{6 — 2x}{x + 1} \geq 1 \)

\( \frac{x + 1 — 6 + 2x}{x + 1} \leq 0 \Rightarrow \frac{3x — 5}{x + 1} \leq 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 3x — 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \)

\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -1) \), \( (-1, \frac{5}{3}) \), \( (\frac{5}{3}, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак положительный.

На промежутке \( (-1, \frac{5}{3}) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (\frac{5}{3}, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для первого неравенства: \( -1 < x \leq \frac{5}{3} \).

Решим второе неравенство:

\( \frac{6 — 2x}{x + 1} \leq 5 \)

\( \frac{5x + 5 — 6 + 2x}{x + 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{7x — 1}{x + 1} \geq 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 7x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{7} \)

\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -1) \), \( (-1, \frac{1}{7}) \), \( (\frac{1}{7}, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак положительный.

На промежутке \( (-1, \frac{1}{7}) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (\frac{1}{7}, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для второго неравенства: \( x \geq \frac{1}{7} \), \( x < -1 \).

Объединяя оба условия, получаем: \( \left[ \frac{1}{7}; \frac{5}{3} \right) \).

Ответ: \( \left[ \frac{1}{7}; \frac{5}{3} \right) \)