ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 311 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a значения дроби (2a-1)/(a+3):

а) принадлежат промежутку [1; 2];

б) находятся вне промежутка [4; 7]?

Найти все значения \(a\):

а)
\[
\frac{2a — 1}{a + 3} \in [1; 2];
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{2a — 1}{a + 3} \geq 1;
\]

\[
\frac{2a — 1 — a — 3}{a + 3} \geq 0;
\]

\[
\frac{a — 4}{a + 3} \geq 0;
\]

\[
a \geq 4, \quad a < -3;
\]

Второе неравенство:
\[
\frac{2a — 1}{a + 3} \leq 2;
\]

\[
\frac{2a + 6 — 2a + 1}{a + 3} \geq 0;
\]

\[
\frac{7}{a + 3} \geq 0, \quad a > -3;
\]

Ответ:
\([4; +\infty)\).

б)
\[
\frac{2a — 1}{a + 3} \notin [4; 7];
\]

Первое неравенство:

\[
\frac{2a — 1}{a + 3} < 4;
\]

\[
\frac{4a + 12 — 2a + 1}{a + 3} > 0;
\]

\[
\frac{2a + 13}{a + 3} > 0;
\]

\[
a < -6,5, \quad a > -3;
\]

Второе неравенство:
\[
\frac{2a — 1}{a + 3} > 7;
\]

\[
\frac{7a + 21 — 2a + 1}{a + 3} < 0;
\]

\[
\frac{5a + 22}{a + 3} < 0;
\]

\[
-4,4 < a < -3;
\]

Ответ:

\((-\infty; -6,5) \cup (-4,4; -3) \cup (-3; +\infty).\)

а)

Дано неравенство:

\( \frac{2a — 1}{a + 3} \in [1; 2] \)

Решение:

Решим первое неравенство:

\( \frac{2a — 1}{a + 3} \geq 1 \)

\( \frac{2a — 1 — a — 3}{a + 3} \geq 0 \Rightarrow \frac{a — 4}{a + 3} \geq 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( a — 4 = 0 \Rightarrow a = 4 \)

\( a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 4) \), \( (4, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -3) \), знак положительный.

На промежутке \( (-3, 4) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (4, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для первого неравенства: \( a \geq 4, \quad a < -3 \).

Решим второе неравенство:

\( \frac{2a — 1}{a + 3} \leq 2 \)

\( \frac{2a + 6 — 2a + 1}{a + 3} \geq 0 \Rightarrow \frac{7}{a + 3} \geq 0 \)

Найдем решение для \( \frac{7}{a + 3} \geq 0 \):

\( a > -3 \)

Ответ для второго неравенства: \( a > -3 \).

Объединяя оба условия, получаем: \( [4; +\infty) \).

Ответ: \( [4; +\infty) \)

б)

Дано неравенство:

\( \frac{2a — 1}{a + 3} \notin [4; 7] \)

Решение:

Решим первое неравенство:

\( \frac{2a — 1}{a + 3} < 4 \)

\( \frac{4a + 12 — 2a + 1}{a + 3} > 0 \Rightarrow \frac{2a + 13}{a + 3} > 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 2a + 13 = 0 \Rightarrow a = -6.5 \)

\( a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -6.5) \), \( (-6.5, -3) \), \( (-3, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -6.5) \), знак положительный.

На промежутке \( (-6.5, -3) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (-3, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для первого неравенства: \( a < -6.5, \quad a > -3 \).

Решим второе неравенство:

\( \frac{2a — 1}{a + 3} > 7 \)

\( \frac{7a + 21 — 2a + 1}{a + 3} < 0 \Rightarrow \frac{5a + 22}{a + 3} < 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 5a + 22 = 0 \Rightarrow a = -4.4 \)

\( a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -4.4) \), \( (-4.4, -3) \), \( (-3, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -4.4) \), знак положительный.

На промежутке \( (-4.4, -3) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (-3, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для второго неравенства: \( -4.4 < a < -3 \).

Объединяя все условия, получаем:

Ответ: \( (-\infty; -6.5) \cup (-4.4; -3) \cup (-3; +\infty) \)